자연계열 1번

[문제 1-1]$\displaystyle y^{\prime}=2x$이므로 $\displaystyle x=a$에서 이 곡선의 접선의 기울기는 $\displaystyle 2a$이고 접선이 점 $\displaystyle \mathrm{P}(a,\ a^2)$을 지나므로접선의 방정식은 $\displaystyle y=2ax-a^2$이다.따라서 점 $\displaystyle \mathrm{R}$의 좌표는 $\displaystyle (0,\ -a^2)$이다.

점 $\displaystyle \mathrm{P}(a,\ a^2)$와 점 $\displaystyle \mathrm{Q}(-a,\ a^2)$는 $\displaystyle y$축에 대칭이고 점 $\displaystyle \mathrm{R}(0,\ -a^2)$은 $\displaystyle y$축 위의 점이므로 $\displaystyle |\mathrm{PR}|=|\mathrm{QR}|$이다.

따라서 삼각형 $\displaystyle \mathrm{PQR}$이 정삼각형이 되기 위해서는 $\displaystyle |\mathrm{PR}|=|\mathrm{PQ}|$이면 된다.$\displaystyle |\mathrm{PQ}|=2a$이고, $\displaystyle |\mathrm{PR}|=\sqrt{a^2+(2a^2)^2}=\sqrt{a^2+4a^4}$이므로$\displaystyle 2a=\sqrt{a^2+4a^4}$$\displaystyle 4a^4-3a^2=0$$\displaystyle a^2(4a^2-3)=0$$\displaystyle a=0$ 또는 $\displaystyle a=\pm\frac{\sqrt3}{2}$이다.이때 $\displaystyle a>0$이므로$\displaystyle a=\frac{\sqrt3}{2}$이다.

[문제 1-2]주어진 곡선 위의 점 $\displaystyle \mathrm{P}(a,\ a^2)$에서의 접선의 방정식은 $\displaystyle y=2ax-a^2$이다.따라서 이 접선과 $\displaystyle y$축 및 곡선 $\displaystyle y=x^2$으로 둘러싸인 도형의 넓이는$\displaystyle \begin{aligned}&\int_0^a\{x^2-(2ax-a^2)\}dx\\&=\int_0^a(x^2-2ax+a^2)dx\\&=\Biggl[\frac{x^3}{3}-ax^2+a^2x\Biggr]_0^a\\&=\frac{a^3}{3}\end{aligned}$이다.

[문제 1-3][문제 1-2]에서 $\displaystyle S=\frac{a^3}{3}$이다.삼각형 $\displaystyle \mathrm{OHP}$는 밑변의 길이가 $\displaystyle a$이고 높이가 $\displaystyle a^2$인 직각 삼각형이므로 이 삼각형의 넓이를$\displaystyle T$라고 하면 $\displaystyle T=\frac{a^3}{2}$이다.

자연수 $\displaystyle a$에 대해서 $\displaystyle S=\frac{a^3}{3}$가 자연수가 되려면$\displaystyle S=\frac{a^3}{3}$이 자연수 $\displaystyle \Leftrightarrow$ $\displaystyle a^3$이 3의 배수 $\displaystyle \Leftrightarrow$ $\displaystyle a$가 3의 배수이다.〈증명〉자연수 $\displaystyle a$는 $\displaystyle a=3k$, $\displaystyle a=3k\pm1$ ($\displaystyle k$는 자연수)로 나타낼 수 있는데 $\displaystyle a$가 3의 배수인 경우는 $\displaystyle a=3k$인 경우이다.$\displaystyle a=3k$인 경우 $\displaystyle a^3=27k^3$도 3의 배수이다.$\displaystyle a=3k\pm1$인 경우 $\displaystyle a^3=27k^3\pm27k^2+9k\pm1=3(9k^3\pm9k^2+3k)\pm1$ (복호동순)이므로 $\displaystyle a^3$도 3의 배수가 아니다.

같은 이유로 자연수 $\displaystyle a$에 대해서 $\displaystyle T=\frac{a^3}{2}$가 자연수가 되려면$\displaystyle T=\frac{a^3}{2}$이 자연수 $\displaystyle \Leftrightarrow$ $\displaystyle a^3$이 2의 배수 $\displaystyle \Leftrightarrow$ $\displaystyle a$가 2의 배수이다.〈증명〉자연수 $\displaystyle a$는 $\displaystyle a=2k$, $\displaystyle a=2k+1$($\displaystyle k$는 자연수)로 나타낼 수 있는데 $\displaystyle a$가 2의 배수인 경우는 $\displaystyle a=2k$인 경우이다.$\displaystyle a=2k$인 경우 $\displaystyle a^3=8k^3$도 3의 배수이다.Correction. 이곳의 “3의 배수”는 “2의 배수”의 오기이다. 그러나 원칙에 따라 원문 표기를 그대로 실었다.$\displaystyle a=2k+1$인 경우 $\displaystyle a^3=8k^3+12k^2+6k+1=2(4k^3+6k^2+3k)+1$이므로 $\displaystyle a^3$도 2의 배수가 아니다.

따라서 구하고자 하는 $\displaystyle a$는 $\displaystyle 1000$이하의 자연수 중에서 2의 배수인 동시에 3의 배수인 자연수, 즉 6의 배수인 수이다.$\displaystyle a=6k$, $\displaystyle k=1,2,\cdots,16$이 $\displaystyle S$와 $\displaystyle T$가 모두 자연수가 되도록 하는 $\displaystyle 1000$이하의 자연수이므로구하고자 하는 $\displaystyle a$의 개수는 $\displaystyle 16$이다.Correction. 문제의 범위는 $\displaystyle 1000$ 이하이므로 $\displaystyle k=1,2,\ldots,166$이고 구하는 개수는 $\displaystyle 166$이다. 답안과 채점기준의 $\displaystyle 16$은 $\displaystyle 166$의 오기이다. 그러나 원칙에 따라 원문 표기를 그대로 실었다.