자연계열 2번

[문제 2-1]두 점 $\displaystyle \mathrm{B}_1(\sqrt3,0)$ $\displaystyle \mathrm{C}_1(0,1)$로부터$\displaystyle \overline{\mathrm{B}_1\mathrm{C}_1}=\sqrt{\sqrt3^2+(-1)^2}=2$ …… (1)

이다. 조건 (가)에 의하여 $\displaystyle \overline{\mathrm{B}_1\mathrm{C}_1}=\overline{\mathrm{A}_2\mathrm{B}_2}$이므로, 조건 (나)로 인해 서로 닮은 삼각형 $\displaystyle T_1$, $\displaystyle T_2$의 닮음비는 (1)에 의하여$\displaystyle \frac{\overline{\mathrm{A}_2\mathrm{B}_2}}{\overline{\mathrm{A}_1\mathrm{B}_1}}=\frac{\overline{\mathrm{B}_1\mathrm{C}_1}}{\overline{\mathrm{A}_1\mathrm{B}_1}}=\frac2{2\sqrt3}=\frac1{\sqrt3}$따라서 (1)을 이용하면$\displaystyle \overline{\mathrm{B}_2\mathrm{C}_2}=\frac1{\sqrt3}\cdot\overline{\mathrm{B}_1\mathrm{C}_1}=\frac1{\sqrt3}\cdot2=\frac2{\sqrt3}$ …… (2)

두 삼각형 $\displaystyle T_1$, $\displaystyle T_2$가 서로 닮은 도형이므로, 대응하는 두 각 $\displaystyle \angle\mathrm{A}_1\mathrm{B}_1\mathrm{C}_1$과 $\displaystyle \angle\mathrm{A}_2\mathrm{B}_2\mathrm{C}_2$의 크기는 같고, 따라서 조건 (다)에 의하여 두 선분 $\displaystyle \mathrm{A}_1\mathrm{B}_1$과 $\displaystyle \mathrm{B}_2\mathrm{C}_2$는 평행하다(〈그림 1〉 참고). 따라서 점 $\displaystyle \mathrm{C}_2$의 $\displaystyle y$좌표는 점 $\displaystyle \mathrm{C}_1$의 $\displaystyle y$좌표와 같은 $\displaystyle 1$이다.

(2)에 의하여$\displaystyle \overline{\mathrm{C}_1\mathrm{C}_2}=\overline{\mathrm{B}_2\mathrm{C}_2}=\frac2{\sqrt3}$이고 점 $\displaystyle \mathrm{C}_1$의 $\displaystyle y$좌표는 $\displaystyle 0$이므로, 점 $\displaystyle \mathrm{C}_2$의 $\displaystyle x$좌표는 $\displaystyle 0+\frac2{\sqrt3}=\frac2{\sqrt3}$이다.Correction. 이곳의 “$\displaystyle y$좌표”는 “$\displaystyle x$좌표”의 오기이다. 그러나 원칙에 따라 원문 표기를 그대로 실었다.따라서 점 $\displaystyle \mathrm{C}_2$의 좌표는 $\displaystyle (\frac2{\sqrt3},1)=(\frac{2\sqrt3}{3},1)$이다.

[문제 2-2](1)에 의하여$\displaystyle \sin(\angle\mathrm{OB}_1\mathrm{C}_1)=\frac{\overline{\mathrm{OC}_1}}{\overline{\mathrm{B}_1\mathrm{C}_1}}=\frac12$이므로,$\displaystyle \angle\mathrm{A}_1\mathrm{B}_1\mathrm{C}_1=\angle\mathrm{OB}_1\mathrm{C}_1=30^{\circ}$$\displaystyle T_1$이 이등변삼각형이므로$\displaystyle \angle\mathrm{B}_1\mathrm{A}_1\mathrm{C}_1=\angle\mathrm{A}_1\mathrm{B}_1\mathrm{C}_1=30^{\circ}$ …… (3)

모든 자연수 $\displaystyle n$에 대하여 삼각형 $\displaystyle T_n$들은 조건 (나), (마)에 의하여 서로 닮은 도형이므로,(3)에 의하여$\displaystyle \angle\mathrm{A}_n\mathrm{B}_n\mathrm{C}_n=\angle\mathrm{B}_n\mathrm{A}_n\mathrm{C}_n=30^{\circ}$ (단, $\displaystyle n=1,2,3,\ldots$) …… (4)

조건 (라), (마), (바)에 의하여 삼각형 $\displaystyle T_{2n}$, $\displaystyle T_{2n+1}$, $\displaystyle T_{2n+2}$가 〈그림 2〉와 같은 관계를 가짐을 알 수 있다.따라서$\displaystyle \begin{aligned}\angle\mathrm{B}_{2n}\mathrm{C}_{2n}\mathrm{C}_{2n+2}&=\angle\mathrm{B}_{2n}\mathrm{C}_{2n}\mathrm{A}_{2n}+\angle\mathrm{B}_{2n+1}\mathrm{A}_{2n+1}\mathrm{C}_{2n+1}+\angle\mathrm{A}_{2n+2}\mathrm{B}_{2n+2}\mathrm{C}_{2n+2}\\&=\angle\mathrm{B}_{2n}\mathrm{C}_{2n}\mathrm{A}_{2n}+30^{\circ}+30^{\circ}=\angle\mathrm{B}_{2n}\mathrm{C}_{2n}\mathrm{A}_{2n}+60^{\circ}\end{aligned}$ …… (5)삼각형 $\displaystyle T_{2n}$의 세 내각의 합이 $\displaystyle 180^{\circ}$이므로(삼각형의 내각의 합),(4)에 의하여$\displaystyle \begin{aligned}\angle\mathrm{B}_{2n}\mathrm{C}_{2n}\mathrm{A}_{2n}&=180^{\circ}-(\angle\mathrm{A}_{2n}\mathrm{B}_{2n}\mathrm{C}_{2n}+\angle\mathrm{B}_{2n}\mathrm{A}_{2n}\mathrm{C}_{2n})\\&=180^{\circ}-(30^{\circ}+30^{\circ})=120^{\circ}\end{aligned}$이고, 따라서 (5)에 의하여$\displaystyle \angle\mathrm{B}_{2n}\mathrm{C}_{2n}\mathrm{C}_{2n+2}=120^{\circ}+60^{\circ}=180^{\circ}$따라서선분 $\displaystyle \mathrm{B}_{2n}\mathrm{C}_{2n}$과 $\displaystyle \mathrm{B}_{2n+2}\mathrm{C}_{2n+2}$는 일직선상에 있다. (단, $\displaystyle n=1,2,3,\ldots$) …… (6)

[문제 2-1]의 풀이에 의하여 선분 $\displaystyle \mathrm{B}_2\mathrm{C}_2$가 $\displaystyle x$축과 평행하므로, (6)을 이용한 수학적 귀납법에 의하여 다음을 알 수 있다.선분 $\displaystyle \mathrm{B}_{2n}\mathrm{C}_{2n}$은 좌표평면의 직선 $\displaystyle y=1$ 위에 있다. (단, $\displaystyle n=1,2,3,\ldots$) …… (7)

따라서 $\displaystyle \mathrm{C}_{2n}$의 $\displaystyle y$좌표 $\displaystyle y_{2n}$은 $\displaystyle 1$이다. $\displaystyle x_n$의 정의와 꼭짓점들 사이의 관계에 의하여$\displaystyle x_{2n+2}-x_{2n}=\overline{\mathrm{C}_{2n}\mathrm{C}_{2n+2}}=\overline{\mathrm{B}_{2n+2}\mathrm{C}_{2n+2}}$이므로, 조건 (마)와 (1), 그리고 삼각형 $\displaystyle T_n$, $\displaystyle T_{n+1}$의 닮음비가 $\displaystyle \frac1{\sqrt3}$임을 이용하면$\displaystyle x_{2n+2}-x_{2n}=\left(\frac1{\sqrt3}\right)^{2n+1}\cdot\overline{\mathrm{B}_1\mathrm{C}_1}=\frac2{\sqrt{3^{2n+1}}}$ (단, $\displaystyle n=1,2,3,\ldots$) …… (8)

[문제 2-3]삼각형 $\displaystyle T_n$과 $\displaystyle T_{n+1}$은 서로 닮은 도형이고 그 닮음비가 $\displaystyle \frac1{\sqrt3}$이므로,$\displaystyle \frac{S_{n+1}}{S_n}=\left(\frac1{\sqrt3}\right)^2=\frac13$즉,$\displaystyle S_{n+1}=\frac13\cdot S_n$ …… (9)이다.

$\displaystyle S_1=\frac12\cdot\overline{\mathrm{A}_1\mathrm{B}_1}\cdot\overline{\mathrm{OC}_1}=\frac12\cdot2\sqrt3\cdot1=\sqrt3$이므로, 수열 $\displaystyle S_n$은 첫째항이 $\displaystyle \sqrt3$이고 공비가 $\displaystyle \frac13$인 등비수열이다. 따라서$\displaystyle \sum_{n=1}^NS_n=\frac{\sqrt3(1-\frac1{3^N})}{1-\frac13}$ …… (10)

이고(등비수열의 합), $\displaystyle N$에 대하여 주어진 조건은$\displaystyle \frac{\sqrt3(1-\frac1{3^N})}{1-\frac13}\ge1.4999S_1=\frac{14999}{10000}\cdot\sqrt3\quad\Leftrightarrow\quad1-\frac1{3^N}\ge\frac{29998}{30000}$$\displaystyle \Leftrightarrow\quad\frac1{3^N}\le\frac1{15000}\quad\Leftrightarrow\quad3^N\ge15000$ …… (11)

따라서 양변에 상용로그를 취하면$\displaystyle \begin{aligned}N\log3&\ge\log15000=\log\left(3\cdot\frac{10^4}{2}\right)=\log3-\log2+\log10^4\\&=0.47-0.3+4=4.17\end{aligned}$$\displaystyle \Leftrightarrow\quad N\ge\frac{4.17}{0.47}\approx8.87$ …… (12)따라서 구하는 자연수 $\displaystyle N$의 최솟값은 $\displaystyle 9$이다.