자연계열 1번

곡선 $\displaystyle y=f(x)$ 위의 점 $\displaystyle (a,\ f(a))$에서의 접선의 방정식은$\displaystyle y=(-2a+8)(x-a)+(-a^2+8a+9)=(-2a+8)x+(a^2+9)\qquad(1)$

이고, 점 $\displaystyle (9,\ 0)$에서의 접선의 방정식은$\displaystyle y=-10(x-9)=-10x+90\qquad(2)$

이다. 두 접선의 교점의 $\displaystyle x$좌표는$\displaystyle (-2a+8)x+(a^2+9)=-10x+90$에서$\displaystyle x=\frac{a+9}{2}$이다.

또한, 두 접점 $\displaystyle (a,\ f(a))$와 $\displaystyle (9,\ 0)$의 중점의 $\displaystyle x$좌표는 $\displaystyle \frac{a+9}{2}$이다.

두 점 $\displaystyle (a,\ f(a))$, $\displaystyle (9,\ 0)$을 지나는 직선을 $\displaystyle y=l(x)$라 하자.곡선 $\displaystyle y=f(x)$와 직선 $\displaystyle y=l(x)$가 만나는 점의 $\displaystyle x$좌표는 $\displaystyle f(x)=l(x)$에서 $\displaystyle x=a$ 또는 $\displaystyle x=9$이므로$\displaystyle f(x)-l(x)=-(x-a)(x-9)=-x^2+(a+9)x-9a$ 이다. $\displaystyle (3)$

따라서 곡선 $\displaystyle y=f(x)$와 직선 $\displaystyle y=l(x)$로 둘러싸인 부분의 넓이 $\displaystyle T(a)$는$\displaystyle \begin{aligned}T(a)&=\int_a^9\{f(x)-l(x)\}dx\\&=\int_a^9\{-x^2+(a+9)x-9a\}dx\\&=\Biggl[-\frac13x^3+\frac12(a+9)x^2-9ax\Biggr]_a^9\\&=-\frac13(9^3-a^3)+\frac12(a+9)(9^2-a^2)-9a(9-a)\\&=\frac16(9-a)(a^2-18a+9^2)\\&=\frac16(9-a)^3\end{aligned}\qquad(4)$이다.

또한, 직선 $\displaystyle y=h(x)$와 곡선 $\displaystyle y=f(x)$는 점 $\displaystyle (a,\ f(a))$에서 접하므로 방정식 $\displaystyle h(x)=f(x)$는 $\displaystyle x=a$를 중근으로 갖는다.따라서 $\displaystyle h(x)-f(x)=(x-a)^2$이다. $\displaystyle (5)$

마찬가지로 직선 $\displaystyle y=g(x)$와 곡선 $\displaystyle y=f(x)$는 점 $\displaystyle (9,\ 0)$에서 접하므로 방정식 $\displaystyle g(x)=f(x)$는 $\displaystyle x=9$를 중근으로 갖고$\displaystyle g(x)-f(x)=(x-9)^2$이다. $\displaystyle (6)$

따라서 두 직선 $\displaystyle y=g(x)$, $\displaystyle y=h(x)$와 곡선 $\displaystyle y=f(x)$로 둘러싸인 부분의 넓이 $\displaystyle S(a)$는$\displaystyle \begin{aligned}S(a)&=\int_a^{\frac{a+9}{2}}\{h(x)-f(x)\}dx+\int_{\frac{a+9}{2}}^9\{g(x)-f(x)\}dx\\&=\int_a^{\frac{a+9}{2}}(x-a)^2dx+\int_{\frac{a+9}{2}}^9(x-9)^2dx\\&=\Biggl[\frac13(x-a)^3\Biggr]_a^{\frac{a+9}{2}}+\Biggl[\frac13(x-9)^3\Biggr]_{\frac{a+9}{2}}^9\\&=\frac1{24}(9-a)^3+\frac1{24}(9-a)^3\\&=\frac1{12}(9-a)^3\end{aligned}\qquad(7)$이다.

따라서 $\displaystyle T(a)=2S(a)$이다.

$\displaystyle y=12S(9-x)=x^3$이고 $\displaystyle (8)$

제1사분면 위의 점 $\displaystyle (p,\ q)$에서 $\displaystyle y=x^3$에 그은 접선이 두 개라고 하자. 점 $\displaystyle (c,\ c^3)$이 접점이라고 하면,$\displaystyle 3c^2=\frac{c^3-q}{c-p}$ 이므로 $\displaystyle (9)$Caution. 나누거나 약분할 때는 그 식이 $\displaystyle 0$이 아닌지 확인해야 한다: 예시답안 1의 식 (9)에서 $\displaystyle 3c^2=\frac{c^3-q}{c-p}$는 $\displaystyle c\ne p$일 때만 성립한다. $\displaystyle c=p$인 경우도 다루려면 접선의 방정식 $\displaystyle q=3c^2(p-c)+c^3$에서 관계식을 구하면 된다. 예시답안 2는 이 방법을 사용한다. 원칙에 따라 원문 표기를 그대로 실었다.$\displaystyle 2c^3-3pc^2+q=0$이다.

이 방정식이 서로 다른 두 실근을 가져야 하므로 이 해들을 $\displaystyle s$, $\displaystyle s$, $\displaystyle t$라 하자. 그러면 $\displaystyle 2c^3-3pc^2+q=(x-s)^2(x-t)$이므로 계수 비교를 통해$\displaystyle \frac{3p}{2}=s+s+t,\quad s^2+2st=0,\quad-\frac q2=s^2t$ 임을 얻을 수 있다. $\displaystyle (10)$Correction. 식 (10) 바로 앞 인수분해식의 우변 $\displaystyle (x-s)^2(x-t)$는 $\displaystyle 2(c-s)^2(c-t)$의 오기이다. 그러나 원칙에 따라 원문 표기를 그대로 실었다.

$\displaystyle p>0$, $\displaystyle q>0$이므로 $\displaystyle t<0<s$이고,$\displaystyle s+2t=0$이다. $\displaystyle (11)$

$\displaystyle s=-2t$를 이용하면$\displaystyle p=-2t,\ q=-8t^3$이 되므로 $\displaystyle (12)$

$\displaystyle q=p^3$이다.