자연계열 2번

원 $\displaystyle C_1$과 두 선분 $\displaystyle \mathrm{BC}$, $\displaystyle \mathrm{AB}$의 접점을 각각 $\displaystyle \mathrm{P}$, $\displaystyle \mathrm{R}$이라고 하자. $\displaystyle \overline{\mathrm{AQ}_1}=a$, $\displaystyle \overline{\mathrm{BR}}=b$, $\displaystyle \overline{\mathrm{CP}}=c$ 라고 두면 <그림 3>에서와 같이 $\displaystyle \overline{\mathrm{AR}}=a$, $\displaystyle \overline{\mathrm{BP}}=b$, $\displaystyle \overline{\mathrm{CQ}_1}=c$가 되고,따라서 $\displaystyle \begin{aligned}a+b&=\overline{\mathrm{AR}}+\overline{\mathrm{BR}}=\overline{\mathrm{AB}}=5+2\sqrt2,\\a+c&=\overline{\mathrm{AQ}_1}+\overline{\mathrm{CQ}_1}=\overline{\mathrm{AC}}=5-2\sqrt2,\\b+c&=\overline{\mathrm{BP}}+\overline{\mathrm{CP}}=\overline{\mathrm{BC}}=7.\end{aligned}\qquad(1)$

(1)에 의하여 $\displaystyle a+b+c=\frac12\{(5+2\sqrt2)+(5-2\sqrt2)+7\}=\frac{17}2$이므로, $\displaystyle (2)$

(1), (2)에 의하여 $\displaystyle \overline{\mathrm{AQ}_1}=a=(a+b+c)-(b+c)=\frac{17}2-7=\frac32$. $\displaystyle (3)$

코사인법칙에 의하여$\displaystyle \begin{aligned}\cos(\angle\mathrm{BAC})&=\frac{\overline{\mathrm{AB}}^2+\overline{\mathrm{AC}}^2-\overline{\mathrm{BC}}^2}{2\overline{\mathrm{AB}}\cdot\overline{\mathrm{AC}}}=\frac{(5+2\sqrt2)^2+(5-2\sqrt2)^2-7^2}{2(5+2\sqrt2)(5-2\sqrt2)}\\&=\frac{2(25+8)-49}{2(25-8)}=\frac12\end{aligned}\qquad(4)$이므로$\displaystyle \angle\mathrm{BAC}=60^\circ$. $\displaystyle (5)$

원 $\displaystyle C_1$의 중심을 $\displaystyle \mathrm{O}_1$라고 두면 <그림 4>에서와 같이 두 직각삼각형 $\displaystyle \mathrm{AO}_1\mathrm{Q}_1$과 $\displaystyle \mathrm{AO}_1\mathrm{R}$은 합동이고, 따라서 (5)에 의하여$\displaystyle \angle\mathrm{O}_1\mathrm{AQ}_1=\angle\mathrm{O}_1\mathrm{AR}=30^\circ$. $\displaystyle (6)$원 $\displaystyle C_1$의 반지름을 $\displaystyle r_1$이라고 두면, (3), (6)에 의하여$\displaystyle r_1=\overline{\mathrm{O}_1\mathrm{Q}_1}=\overline{\mathrm{AQ}_1}\cdot\tan(\angle\mathrm{O}_1\mathrm{AQ}_1)=\frac32\cdot\frac1{\sqrt3}=\frac{\sqrt3}2$. $\displaystyle (7)$

(6)에 의하여$\displaystyle \angle\mathrm{Q}_1\mathrm{O}_1\mathrm{R}=\angle\mathrm{AO}_1\mathrm{Q}_1+\angle\mathrm{AO}_1\mathrm{R}=(90^\circ-\angle\mathrm{O}_1\mathrm{AQ}_1)+(90^\circ-\angle\mathrm{O}_1\mathrm{AR})=120^\circ$이므로, $\displaystyle (8)$(7), (8)에 의하여부채꼴 $\displaystyle \mathrm{O}_1\mathrm{Q}_1\mathrm{R}$의 넓이 $\displaystyle =$ 원 $\displaystyle C_1$의 넓이 $\displaystyle \cdot\frac{120^\circ}{360^\circ}=\pi\left(\frac{\sqrt3}2\right)^2\cdot\frac13=\frac\pi4$. $\displaystyle (9)$(3), (7)에 의하여사각형 $\displaystyle \mathrm{AQ}_1\mathrm{O}_1\mathrm{R}$의 넓이 $\displaystyle =2\cdot$삼각형 $\displaystyle \mathrm{AO}_1\mathrm{Q}_1$의 넓이 $\displaystyle =2\cdot\left(\frac12\cdot\overline{\mathrm{AQ}_1}\cdot\overline{\mathrm{O}_1\mathrm{Q}_1}\right)$$\displaystyle =2\cdot\frac12\cdot\frac32\cdot\frac{\sqrt3}2=\frac{3\sqrt3}4.\qquad(10)$(9), (10)에 의하여 구하는 영역의 넓이는사각형 $\displaystyle \mathrm{AQ}_1\mathrm{O}_1\mathrm{R}$의 넓이 $\displaystyle -$ 부채꼴 $\displaystyle \mathrm{O}_1\mathrm{Q}_1\mathrm{R}$의 넓이 $\displaystyle =\frac{3\sqrt3}4-\frac\pi4$. $\displaystyle (11)$

원 $\displaystyle C_1$이 삼각형 $\displaystyle \mathrm{ABC}$의 내접원이므로 <그림 3>에 의하여$\displaystyle \triangle\mathrm{ABC}$의 넓이 $\displaystyle =\triangle\mathrm{O}_1\mathrm{AB}$의 넓이 $\displaystyle +\triangle\mathrm{O}_1\mathrm{BC}$의 넓이 $\displaystyle +\triangle\mathrm{O}_1\mathrm{AC}$의 넓이$\displaystyle \begin{aligned}&=\frac12r_1\cdot\overline{\mathrm{AB}}+\frac12r_1\cdot\overline{\mathrm{BC}}+\frac12r_1\cdot\overline{\mathrm{AC}}\\&=\frac12r_1\{(5+2\sqrt2)+7+(5-2\sqrt2)\}=\frac{17}2r_1.\end{aligned}$따라서 (5)에 의하여$\displaystyle \frac{17}2r_1=\triangle\mathrm{ABC}$의 넓이 $\displaystyle =\frac12\overline{\mathrm{AB}}\cdot\overline{\mathrm{AC}}\cdot\sin(\angle\mathrm{BAC})$$\displaystyle =\frac12(5+2\sqrt2)(5-2\sqrt2)\cdot\frac{\sqrt3}2=\frac{17\sqrt3}4$이므로$\displaystyle r_1=\overline{\mathrm{O}_1\mathrm{Q}_1}=\frac{\sqrt3}2$.

자연수 $\displaystyle n$에 대하여 원 $\displaystyle C_n$의 중심을 $\displaystyle \mathrm{O}_n$, 반지름을 $\displaystyle r_n$이라고 하자. <그림 5>에서와 같이 두 직각삼각형 $\displaystyle \mathrm{AO}_n\mathrm{Q}_n$, $\displaystyle \mathrm{AO}_{n+1}\mathrm{Q}_{n+1}$이 닮은 도형이므로$\displaystyle r_n:r_{n+1}=\overline{\mathrm{O}_n\mathrm{Q}_n}:\overline{\mathrm{O}_{n+1}\mathrm{Q}_{n+1}}=\overline{\mathrm{AO}_n}:\overline{\mathrm{AO}_{n+1}}=\overline{\mathrm{AO}_n}:\overline{\mathrm{AO}_n}-(r_n+r_{n+1})$. $\displaystyle (12)$

(7)에 의하여 $\displaystyle \angle\mathrm{O}_n\mathrm{AQ}_n=\angle\mathrm{O}_{n+1}\mathrm{AQ}_{n+1}=\angle\mathrm{O}_1\mathrm{AQ}_1=30^\circ$이므로$\displaystyle r_n=\overline{\mathrm{O}_n\mathrm{Q}_n}=\overline{\mathrm{AO}_n}\cdot\sin30^\circ=\frac12\overline{\mathrm{AO}_n}$, 즉$\displaystyle \overline{\mathrm{AO}_n}=2r_n.\qquad(13)$(12), (13)에 의하여 $\displaystyle r_n:r_{n+1}=2r_n:2r_n-(r_n+r_{n+1})=2r_n:r_n-r_{n+1}$이므로,$\displaystyle 2r_nr_{n+1}=r_n(r_n-r_{n+1})$, 즉$\displaystyle r_{n+1}=\frac13r_n$. $\displaystyle (14)$

(7), (14)에 의하여 수열 $\displaystyle r_n$은 첫째항 $\displaystyle r_1=\frac{\sqrt3}2$, 공비 $\displaystyle \frac13$인 등비수열이므로$\displaystyle r_n=\frac{\sqrt3}2\cdot\left(\frac13\right)^{n-1}=\frac{\sqrt3}{2\cdot3^{n-1}},\quad n=1,2,3,\ldots\qquad(15)$

(15)에 의하여$\displaystyle S_n=\pi r_n^2=\pi\cdot\left\{\frac{\sqrt3}{2\cdot3^{n-1}}\right\}^2=\frac{3\pi}4\cdot\left(\frac19\right)^{n-1},\quad n=1,2,3,\ldots\qquad(16)$

(16)에 의하여 수열 $\displaystyle S_n$이 첫째항 $\displaystyle \frac{3\pi}4$, 공비 $\displaystyle \frac19$인 등비수열이므로$\displaystyle \sum_{n=1}^N S_n=\frac{3\pi}4\cdot\frac{1-\left(\frac19\right)^N}{1-\frac19}=\frac{27\pi}{32}\left(1-\frac1{9^N}\right),\quad N=1,2,3,\ldots\qquad(17)$

(16)에 의하여$\displaystyle \log\frac{4S_n}\pi=\log\frac1{3^{2n-3}}=-(2n-3)\log3,\quad n=1,2,3,\ldots$이므로$\displaystyle \begin{aligned}S_n<\frac\pi4\cdot10^{-10}&\Leftrightarrow\frac{4S_n}\pi<10^{-10}\Leftrightarrow\log\frac{4S_n}\pi<-10\Leftrightarrow(2n-3)\log3>10\\&\Leftrightarrow n>\frac12\left(\frac{10}{\log3}+3\right).\end{aligned}\qquad(18)$

$\displaystyle \frac12\left(\frac{10}{0.5}+3\right)=11.5$, $\displaystyle \frac12\left(\frac{10}{0.477}+3\right)=11.9\ldots$이므로, $\displaystyle 0.477<\log3<0.5$를 이용하면$\displaystyle 11.5<\frac12\left(\frac{10}{\log3}+3\right)<11.9\ldots\qquad(19)$

(18), (19)에 의하여 주어진 조건 $\displaystyle S_n<\frac\pi4\cdot10^{-10}$을 만족하는 자연수 $\displaystyle n$의 최솟값은 $\displaystyle 12$이다.