자연계열 1번

[문제 1-1]도형 $\displaystyle S_1$은 $\displaystyle (1,\ f(1))$, $\displaystyle (2,\ f(2))$을 지나는 최고차항의 계수가 $\displaystyle 1$인 이차함수와 두 직선 $\displaystyle x=1$, $\displaystyle x=2$ 및 $\displaystyle x$축으로 둘러싸인 도형이므로 두 점의 $\displaystyle y$좌표를 구하면$\displaystyle f(1)=0,\quad f(2)=\frac72\qquad(1)$이고, 두 점을 지나는 최고차항의 계수가 $\displaystyle 1$인 이차함수는$\displaystyle y=x^2+\frac{x}{2}-\frac32\qquad(2)$이다. 따라서 도형 $\displaystyle S_1$의 넓이는$\displaystyle \begin{aligned}\int_1^2\left(x^2+\frac{x}{2}-\frac32\right)dx&=\Biggl[\frac{x^3}{3}+\frac{x^2}{4}-\frac{3x}{2}\Biggr]_1^2\\&=\frac{19}{12}.\end{aligned}\qquad(3)$

[문제 1-2]두 점 $\displaystyle (2n-1,\ f(2n-1))$, $\displaystyle (2n,\ f(2n))$을 지나는 최고차항의 계수가 $\displaystyle 1$인 이차함수를$\displaystyle y=x^2+bx+c\qquad(3)$Correction. 예시답안에서 식 번호 (3)이 두 번 쓰였다. [문제 1-2]의 예시답안에서 언급하는 함수 (3)은 $\displaystyle y=x^2+bx+c$를 가리킨다. 원칙에 따라 원문 표기를 그대로 실었다.라 하자.함수 (3)과 $\displaystyle x$축 및 두 직선 $\displaystyle x=2n-1$, $\displaystyle x=2n$으로 둘러싸인 도형 $\displaystyle S_n$의 넓이 $\displaystyle A_n$을 정적분으로 구하면$\displaystyle \int_{2n-1}^{2n}(x^2+bx+c)dx=\frac{12n^2-6n+1}{3}+\frac{b}{2}(4n-1)+c.$함수 (3)은 점 $\displaystyle (2n-1,\ f(2n-1))$을 지나므로$\displaystyle 1-\frac1{2n-1}=(2n-1)^2+b(2n-1)+c.\qquad(4)$함수 (3)은 점 $\displaystyle (2n,\ f(2n))$을 지나므로$\displaystyle 3+\frac1{2n}=(2n)^2+b(2n)+c.\qquad(5)$(5)-(4)로부터$\displaystyle b=3+\frac1{2n}+\frac1{2n-1}-4n\qquad(6)$$\displaystyle c=1-\frac1{2n-1}-b(2n-1)-(2n-1)^2\qquad(7-1)$또는$\displaystyle c=3+\frac1{2n}-2nb-(2n)^2\qquad(7-2)$이므로, 도형 $\displaystyle S_n$의 넓이 $\displaystyle A_n$은$\displaystyle \begin{aligned}A_n&=\int_{2n-1}^{2n}(x^2+bx+c)dx\\&=\frac{12n^2-6n+1}{3}+\frac{b}{2}(4n-1)+c\\&=\frac{12n^2-6n+1}{3}+2nb-\frac{b}{2}+3+\frac1{2n}-2nb-4n^2\\&=\frac{11}{6}+\frac1{4n}-\frac1{2(2n-1)}.\end{aligned}\qquad(8)$

[문제 1-3]$\displaystyle n$의 값이 한없이 커질 때 식 $\displaystyle A_n$의 극한값은$\displaystyle \begin{aligned}\lim_{n\to\infty}A_n&=\lim_{n\to\infty}\left(\frac{11}{6}+\frac1{4n}-\frac1{2(2n-1)}\right)\\&=\lim_{n\to\infty}\frac{11}{6}+\lim_{n\to\infty}\frac1{4n}-\lim_{n\to\infty}\frac1{2(2n-1)}\\&=\frac{11}{6}.\end{aligned}\qquad(9)$