수리논술, 이게 다다.

자연계열 2번

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덕성여대 2024학년도 모의 자연계열 2번 · mathesis.kr/archive/duksung/2024mo/jayeon_2

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문제

[문2]

3이상의 자연수 n\displaystyle n에 대하여 OP1‾=OQ1‾=a1\displaystyle \overline{\mathrm{OP}_1}=\overline{\mathrm{OQ}_1}=a_1, ∠P1OQ1=2πn\displaystyle \angle\mathrm{P}_1\mathrm{OQ}_1=\frac{2\pi}{n}인 삼각형 OP1Q1\displaystyle \mathrm{OP}_1\mathrm{Q}_1이 있다.반직선 OQ1→\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{OQ}_1} 위에 OP2‾=a2\displaystyle \overline{\mathrm{OP}_2}=a_2인 점 P2\displaystyle \mathrm{P}_2를 잡고 다음의 조건을 모두 만족하도록 점 Q2\displaystyle \mathrm{Q}_2를 삼각형 OP1Q1\displaystyle \mathrm{OP}_1\mathrm{Q}_1의 외부에 잡는다.∠P2OQ2=2πn,∠P1OQ2=4πn,OQ2‾=a2\displaystyle \angle\mathrm{P}_2\mathrm{OQ}_2=\frac{2\pi}{n},\quad\angle\mathrm{P}_1\mathrm{OQ}_2=\frac{4\pi}{n},\quad\overline{\mathrm{OQ}_2}=a_22이상이고 n\displaystyle n이하인 모든 자연수 k\displaystyle k에 대하여이와 같은 과정을 계속하여 반직선 OQk−1→\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{OQ}_{k-1}} 위에 OPk‾=ak\displaystyle \overline{\mathrm{OP}_k}=a_k인 점 Pk\displaystyle \mathrm{P}_k를 잡고점 Qk\displaystyle \mathrm{Q}_k를 삼각형 OP1Q1\displaystyle \mathrm{OP}_1\mathrm{Q}_1, ⋯\displaystyle \cdots, OPk−1Qk−1\displaystyle \mathrm{OP}_{k-1}\mathrm{Q}_{k-1}의 외부에∠PkOQk=2πn\displaystyle \angle\mathrm{P}_k\mathrm{OQ}_k=\frac{2\pi}{n}, ∠Pk−1OQk=4πn\displaystyle \angle\mathrm{P}_{k-1}\mathrm{OQ}_k=\frac{4\pi}{n}, OQk‾=ak\displaystyle \overline{\mathrm{OQ}_k}=a_k가 되도록 잡는다.마지막으로 반직선 OP1→\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{OP}_1} 위에 OPn+1‾=an+1\displaystyle \overline{\mathrm{OP}_{n+1}}=a_{n+1}인 점 Pn+1\displaystyle \mathrm{P}_{n+1}을 잡는다.

[문제 2-1]OPk‾=ak=nk\displaystyle \overline{\mathrm{OP}_k}=a_k=\frac{\sqrt n}{k} (1≤k≤n+1\displaystyle 1\le k\le n+1인 자연수)일 때, 점 P1\displaystyle \mathrm{P}_1, P2\displaystyle \mathrm{P}_2, ⋯\displaystyle \cdots, Pn+1\displaystyle \mathrm{P}_{n+1}에 대하여 n\displaystyle n개의 삼각형 PkOPk+1\displaystyle \mathrm{P}_k\mathrm{OP}_{k+1}(1≤k≤n\displaystyle 1\le k\le n인 자연수)의 넓이의 합을 Sn\displaystyle S_n이라 하자. S12\displaystyle S_{12}의 값을 구하시오. [25점]

[문제 2-2]OP1‾=a1\displaystyle \overline{\mathrm{OP}_1}=a_1이고 2이상의 자연수 k\displaystyle k에 대하여 OPk‾=ak=ak−1−Pk−1Qk−1‾2\displaystyle \overline{\mathrm{OP}_k}=a_k=a_{k-1}-\frac{\overline{\mathrm{P}_{k-1}\mathrm{Q}_{k-1}}}{2}라 할 때, Tn=∑i=1nPiQi‾\displaystyle T_n=\sum_{i=1}^n\overline{\mathrm{P}_i\mathrm{Q}_i}라 하자. Tn\displaystyle T_n을 a1\displaystyle a_1과 n\displaystyle n으로 나타내시오. [45점]

[문제 2-3][문제 2-2]에서 a1=12\displaystyle a_1=\frac12일 때, 3이상의 자연수 n\displaystyle n에 대하여 Cn=1nlog⁡(1−Tn)\displaystyle C_n=\frac1n\log(1-T_n)의 최솟값을 구하고,구한 값이 최솟값임을 설명하시오. [30점]

해설강의 준비중

덕성여대 2024학년도 모의 자연계열 2번 · mathesis.kr/archive/duksung/2024mo/jayeon_2

+10점 · 식 (1)과 같이 삼각형의 넓이 공식을 이용해서 삼각형 PkOPk+1\displaystyle \mathrm{P}_k\mathrm{OP}_{k+1}의 넓이를 구하면 - E(0점): 문제의 의미를 알지 못한다. - B(5점): 삼각형 PkOPk+1\displaystyle \mathrm{P}_k\mathrm{OP}_{k+1}의 넓이 공식을 알고 있다. - A(10점): 삼각형 PkOPk+1\displaystyle \mathrm{P}_k\mathrm{OP}_{k+1}의 넓이를 정확하게 구하였다.

[문제 2-1]삼각형 PkOPk+1\displaystyle \mathrm{P}_k\mathrm{OP}_{k+1}의 두 변의 길이와 끼인각의 크기를 알고 있으므로, 삼각형의 넓이 공식에 의해ΔPkOPk+1=12⋅OPk‾⋅OPk+1‾⋅sin⁡2πn=12⋅nk⋅nk+1⋅sin⁡2πn=12nsin⁡2πn⋅1k(k+1)(1)\displaystyle \begin{aligned}\Delta\mathrm{P}_k\mathrm{OP}_{k+1}&=\frac12\cdot\overline{\mathrm{OP}_k}\cdot\overline{\mathrm{OP}_{k+1}}\cdot\sin\frac{2\pi}{n}\\&=\frac12\cdot\frac{\sqrt n}{k}\cdot\frac{\sqrt n}{k+1}\cdot\sin\frac{2\pi}{n}\\&=\frac12n\sin\frac{2\pi}{n}\cdot\frac1{k(k+1)}\end{aligned}\qquad(1)

+15점 · S12\displaystyle S_{12}를 표현하고 1k(k+1)=1k−1k+1\displaystyle \frac1{k(k+1)}=\frac1k-\frac1{k+1}임을 이용해서 답을 구하면 - E(0점): 문제의 의미를 알지 못한다. - C(5점): 식 (2)를 구하였다. - B(10점): 식 (3)에서 1k(k+1)=1k−1k+1\displaystyle \frac1{k(k+1)}=\frac1k-\frac1{k+1}을 이용하였다. - A(15점): S12\displaystyle S_{12}를 맞게 구하였고 이를 이용하여 정확한 답을 얻었다.

가 된다. 그러므로Sn=∑k=1nΔPkOPk+1=∑k=1n12nsin⁡2πn⋅1k(k+1)=12nsin⁡2πn∑k=1n1k(k+1)(2)\displaystyle \begin{aligned}S_n&=\sum_{k=1}^n\Delta\mathrm{P}_k\mathrm{OP}_{k+1}=\sum_{k=1}^n\frac12n\sin\frac{2\pi}{n}\cdot\frac1{k(k+1)}\\&=\frac12n\sin\frac{2\pi}{n}\sum_{k=1}^n\frac1{k(k+1)}\end{aligned}\qquad(2)이다. 따라서S12=12⋅12⋅sin⁡π6∑k=1121k(k+1)=3∑k=112(1k−1k+1)=3(1−113)=3613(3)\displaystyle S_{12}=\frac12\cdot12\cdot\sin\frac\pi6\sum_{k=1}^{12}\frac1{k(k+1)}=3\sum_{k=1}^{12}\left(\frac1k-\frac1{k+1}\right)=3\left(1-\frac1{13}\right)=\frac{36}{13}\qquad(3)이다.

+10점 · 식 (4)과 같이 PkQk‾\displaystyle \overline{\mathrm{P}_k\mathrm{Q}_k}를 구하면 - E(0점): 문제의 의미를 알지 못한다. - B(5점): PkQk‾\displaystyle \overline{\mathrm{P}_k\mathrm{Q}_k}를 구하는 공식을 알고 있다. - A(10점): 식 (4)와 같이 PkQk‾\displaystyle \overline{\mathrm{P}_k\mathrm{Q}_k}를 계산하였다.

[문제 2-2]k≥1\displaystyle k\ge1에 대해PkQk‾=2OPk‾sin⁡πn=2aksin⁡πn(4)\displaystyle \overline{\mathrm{P}_k\mathrm{Q}_k}=2\overline{\mathrm{OP}_k}\sin\frac\pi n=2a_k\sin\frac\pi n\qquad(4)이다.

+10점 · 식 (6)과 같이 ak\displaystyle a_k를 구하면 - E(0점): 문제의 의미를 알지 못한다. - B(5점): 식 (5)까지 구하였다. - A(10점): 식 (6)까지 구하였다.

또한, k≥2\displaystyle k\ge2에 대해ak=ak−1−Pk−1Qk−1‾2=ak−1(1−sin⁡πn)(5)\displaystyle a_k=a_{k-1}-\frac{\overline{\mathrm{P}_{k-1}\mathrm{Q}_{k-1}}}{2}=a_{k-1}\left(1-\sin\frac\pi n\right)\qquad(5)가 된다.이를 이용하면ak=a1(1−sin⁡πn)k−1(6)\displaystyle a_k=a_1\left(1-\sin\frac\pi n\right)^{k-1}\qquad(6)

+5점 · 식 (7)과 같이 PkQk‾\displaystyle \overline{\mathrm{P}_k\mathrm{Q}_k}를 구하면 - E(0점): 문제의 의미를 알지 못한다. - A(5점): 식 (7)과 같이 PkQk‾\displaystyle \overline{\mathrm{P}_k\mathrm{Q}_k}를 정확하게 구하였다.

이 되고, k≥1\displaystyle k\ge1에 대하여PkQk‾=2a1sin⁡πn⋅(1−sin⁡πn)k−1(7)\displaystyle \overline{\mathrm{P}_k\mathrm{Q}_k}=2a_1\sin\frac\pi n\cdot\left(1-\sin\frac\pi n\right)^{k-1}\qquad(7)

+20점 · 식 (8)과 같이 Tn\displaystyle T_n을 계산하면 - E(0점): 문제의 의미를 알지 못한다. - D(5점): 식 (8)에 있는 두 번째 등호까지 계산하였다. - C(10점): 식 (8)에 있는 세 번째 등호를 얻는 과정에서 주어진 합이 등비수열의 합임을 알고 공비를 알고 있다. - B(15점): 식 (8)에 있는 세 번째 등호까지 정확하게 계산하였다. - A(20점): 식 (8)에 있는 네 번째 등호까지 계산하였다.

이 된다. 그러므로Tn=∑i=1nPiQi‾=2a1{sin⁡πn+sin⁡πn(1−sin⁡πn)+sin⁡πn(1−sin⁡πn)2+⋯+sin⁡πn(1−sin⁡πn)n−1}=2a1⋅sin⁡πn{1−(1−sin⁡πn)n}1−(1−sin⁡πn)=2a1{1−(1−sin⁡πn)n}(8)\displaystyle \begin{aligned}T_n&=\sum_{i=1}^n\overline{\mathrm{P}_i\mathrm{Q}_i}\\&=2a_1\left\{\sin\frac\pi n+\sin\frac\pi n\left(1-\sin\frac\pi n\right)+\sin\frac\pi n\left(1-\sin\frac\pi n\right)^2+\cdots+\sin\frac\pi n\left(1-\sin\frac\pi n\right)^{n-1}\right\}\\&=2a_1\cdot\frac{\sin\frac\pi n\left\{1-\left(1-\sin\frac\pi n\right)^n\right\}}{1-\left(1-\sin\frac\pi n\right)}\\&=2a_1\left\{1-\left(1-\sin\frac\pi n\right)^n\right\}\end{aligned}\qquad(8)이다.

+10점 · 식 (10)과 같이 Cn\displaystyle C_n을 구하면 - E(0점): 문제의 의미를 알지 못한다. - B(5점): 식 (9)까지 구하였다. - A(10점): 식 (10)과 같이 Cn\displaystyle C_n을 정확하게 구하였다.

[문제 2-3]a1=12\displaystyle a_1=\frac12이므로 Tn=1−(1−sin⁡πn)n\displaystyle T_n=1-\left(1-\sin\frac\pi n\right)^n이고, 이를 다시 정리하면1−Tn=(1−sin⁡πn)n(9)\displaystyle 1-T_n=\left(1-\sin\frac\pi n\right)^n\qquad(9)이다.따라서Cn=1nlog⁡(1−Tn)=1nlog⁡(1−sin⁡πn)n=log⁡(1−sin⁡πn)(10)\displaystyle C_n=\frac1n\log(1-T_n)=\frac1n\log\left(1-\sin\frac\pi n\right)^n=\log\left(1-\sin\frac\pi n\right)\qquad(10)이다.

+20점 · 식 (11)과 같이 Cn\displaystyle C_n의 최솟값을 계산하면 - E(0점): 문제의 의미를 알지 못한다. - D(5점): 함수 y=log⁡x\displaystyle y=\log x가 구간 (0, ∞)\displaystyle (0,\ \infty)에서 증가함을 알고 있거나 함수 y=1−sin⁡x\displaystyle y=1-\sin x가 구간 (0, π2)\displaystyle (0,\ \frac\pi2)에서 감소함을 알고 있다. - C(10점): 함수 y=log⁡x\displaystyle y=\log x가 구간 (0, ∞)\displaystyle (0,\ \infty)에서 증가하고 함수 y=1−sin⁡x\displaystyle y=1-\sin x가 구간 (0, π2)\displaystyle (0,\ \frac\pi2)에서 감소함을 모두 알고 있다. - B(15점): Cn\displaystyle C_n의 최솟값이 n=3\displaystyle n=3일 때임을 알고 있다. - A(20점): Cn\displaystyle C_n의 최솟값을 정확하게 계산하였다.

함수 y=log⁡x\displaystyle y=\log x는 구간 (0, ∞)\displaystyle (0,\ \infty)에서 증가하는 함수이므로 1−sin⁡πn\displaystyle 1-\sin\frac\pi n가 최솟값을 가지는 3이상의 자연수 n\displaystyle n을 찾으면 된다. n≥3\displaystyle n\ge3일 때 πn\displaystyle \frac\pi n는 구간 (0, π2)\displaystyle (0,\ \frac\pi2)에 속하고, 이 구간에서 함수 y=1−sin⁡x\displaystyle y=1-\sin x는 감소한다. 따라서 n=3\displaystyle n=3일 때 πn\displaystyle \frac\pi n가 가장 큰 값을 갖고 Cn\displaystyle C_n은C3=log⁡(1−sin⁡π3)=log⁡(1−32)(11)\displaystyle C_3=\log\left(1-\sin\frac\pi3\right)=\log\left(1-\frac{\sqrt3}{2}\right)\qquad(11)로 최솟값을 가진다.

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