자연계열 2번

[문제 2-1]삼각형 $\displaystyle \mathrm{P}_k\mathrm{OP}_{k+1}$의 두 변의 길이와 끼인각의 크기를 알고 있으므로, 삼각형의 넓이 공식에 의해$\displaystyle \begin{aligned}\Delta\mathrm{P}_k\mathrm{OP}_{k+1}&=\frac12\cdot\overline{\mathrm{OP}_k}\cdot\overline{\mathrm{OP}_{k+1}}\cdot\sin\frac{2\pi}{n}\\&=\frac12\cdot\frac{\sqrt n}{k}\cdot\frac{\sqrt n}{k+1}\cdot\sin\frac{2\pi}{n}\\&=\frac12n\sin\frac{2\pi}{n}\cdot\frac1{k(k+1)}\end{aligned}\qquad(1)$

가 된다. 그러므로$\displaystyle \begin{aligned}S_n&=\sum_{k=1}^n\Delta\mathrm{P}_k\mathrm{OP}_{k+1}=\sum_{k=1}^n\frac12n\sin\frac{2\pi}{n}\cdot\frac1{k(k+1)}\\&=\frac12n\sin\frac{2\pi}{n}\sum_{k=1}^n\frac1{k(k+1)}\end{aligned}\qquad(2)$이다. 따라서$\displaystyle S_{12}=\frac12\cdot12\cdot\sin\frac\pi6\sum_{k=1}^{12}\frac1{k(k+1)}=3\sum_{k=1}^{12}\left(\frac1k-\frac1{k+1}\right)=3\left(1-\frac1{13}\right)=\frac{36}{13}\qquad(3)$이다.

[문제 2-2]$\displaystyle k\ge1$에 대해$\displaystyle \overline{\mathrm{P}_k\mathrm{Q}_k}=2\overline{\mathrm{OP}_k}\sin\frac\pi n=2a_k\sin\frac\pi n\qquad(4)$이다.

또한, $\displaystyle k\ge2$에 대해$\displaystyle a_k=a_{k-1}-\frac{\overline{\mathrm{P}_{k-1}\mathrm{Q}_{k-1}}}{2}=a_{k-1}\left(1-\sin\frac\pi n\right)\qquad(5)$가 된다.이를 이용하면$\displaystyle a_k=a_1\left(1-\sin\frac\pi n\right)^{k-1}\qquad(6)$

이 되고, $\displaystyle k\ge1$에 대하여$\displaystyle \overline{\mathrm{P}_k\mathrm{Q}_k}=2a_1\sin\frac\pi n\cdot\left(1-\sin\frac\pi n\right)^{k-1}\qquad(7)$

이 된다. 그러므로$\displaystyle \begin{aligned}T_n&=\sum_{i=1}^n\overline{\mathrm{P}_i\mathrm{Q}_i}\\&=2a_1\left\{\sin\frac\pi n+\sin\frac\pi n\left(1-\sin\frac\pi n\right)+\sin\frac\pi n\left(1-\sin\frac\pi n\right)^2+\cdots+\sin\frac\pi n\left(1-\sin\frac\pi n\right)^{n-1}\right\}\\&=2a_1\cdot\frac{\sin\frac\pi n\left\{1-\left(1-\sin\frac\pi n\right)^n\right\}}{1-\left(1-\sin\frac\pi n\right)}\\&=2a_1\left\{1-\left(1-\sin\frac\pi n\right)^n\right\}\end{aligned}\qquad(8)$이다.

[문제 2-3]$\displaystyle a_1=\frac12$이므로 $\displaystyle T_n=1-\left(1-\sin\frac\pi n\right)^n$이고, 이를 다시 정리하면$\displaystyle 1-T_n=\left(1-\sin\frac\pi n\right)^n\qquad(9)$이다.따라서$\displaystyle C_n=\frac1n\log(1-T_n)=\frac1n\log\left(1-\sin\frac\pi n\right)^n=\log\left(1-\sin\frac\pi n\right)\qquad(10)$이다.

함수 $\displaystyle y=\log x$는 구간 $\displaystyle (0,\ \infty)$에서 증가하는 함수이므로 $\displaystyle 1-\sin\frac\pi n$가 최솟값을 가지는 3이상의 자연수 $\displaystyle n$을 찾으면 된다. $\displaystyle n\ge3$일 때 $\displaystyle \frac\pi n$는 구간 $\displaystyle (0,\ \frac\pi2)$에 속하고, 이 구간에서 함수 $\displaystyle y=1-\sin x$는 감소한다. 따라서 $\displaystyle n=3$일 때 $\displaystyle \frac\pi n$가 가장 큰 값을 갖고 $\displaystyle C_n$은$\displaystyle C_3=\log\left(1-\sin\frac\pi3\right)=\log\left(1-\frac{\sqrt3}{2}\right)\qquad(11)$로 최솟값을 가진다.