자연계열 2번

[문제 2-1]점 $\displaystyle \mathrm{B}(t,0)$에 대하여, $\displaystyle \overline{\mathrm{AP}}=\overline{\mathrm{PB}}$이므로 점 $\displaystyle \mathrm{P}$의 $\displaystyle x$좌표는 $\displaystyle \frac{t-1}{2}$이다. $\displaystyle (1)$$\displaystyle t=0$, 즉 점 $\displaystyle \mathrm{B}(0,0)$일 때 점 $\displaystyle \mathrm{P}_1$의 $\displaystyle x$좌표는 $\displaystyle -\frac12$이다. 점 $\displaystyle \mathrm{P}_1$의 $\displaystyle y$좌표를 $\displaystyle a$라 하면 $\displaystyle \left(-\frac12\right)^2+a^2=1$이므로 $\displaystyle a=\pm\frac{\sqrt3}{2}$이다. 이때 $\displaystyle a>0$이므로 $\displaystyle a=\frac{\sqrt3}{2}$이고,$\displaystyle \mathrm{P}_1\left(-\frac12,\frac{\sqrt3}{2}\right).\qquad(2)$$\displaystyle t=2$, 즉 점 $\displaystyle \mathrm{B}(2,0)$일 때 점 $\displaystyle \mathrm{P}_2$의 $\displaystyle x$좌표는 $\displaystyle \frac12$이다. 점 $\displaystyle \mathrm{P}_2$의 $\displaystyle y$좌표를 $\displaystyle b$라 하면 $\displaystyle \left(\frac12\right)^2+b^2=1$이므로 $\displaystyle b=\pm\frac{\sqrt3}{2}$이다. 이때 $\displaystyle b>0$이므로 $\displaystyle b=\frac{\sqrt3}{2}$이고,$\displaystyle \mathrm{P}_2\left(\frac12,\frac{\sqrt3}{2}\right).\qquad(3)$

원점 $\displaystyle \mathrm{O}$와 점 $\displaystyle \mathrm{P}_1$을 지나는 동경 $\displaystyle \mathrm{OP}_1$이 나타내는 각의 크기를 $\displaystyle \theta_1$이라 하면$\displaystyle \cos\theta_1=-\frac12$, $\displaystyle \sin\theta_1=\frac{\sqrt3}{2}$에서 $\displaystyle \theta_1=\frac{2\pi}{3}$이다.원점 $\displaystyle \mathrm{O}$와 점 $\displaystyle \mathrm{P}_2$를 지나는 동경 $\displaystyle \mathrm{OP}_2$가 나타내는 각의 크기를 $\displaystyle \theta_2$라 하면$\displaystyle \cos\theta_2=\frac12$, $\displaystyle \sin\theta_2=\frac{\sqrt3}{2}$에서 $\displaystyle \theta_2=\frac\pi3$이다.따라서 부채꼴 $\displaystyle O\mathrm{P}_1\mathrm{P}_2$의 중심각의 크기 $\displaystyle \theta$는$\displaystyle \theta=\theta_1-\theta_2=\frac{2\pi}{3}-\frac\pi3=\frac\pi3$ (또는 $\displaystyle 60^{\circ}$) $\displaystyle (4)$

그러므로 원의 반지름의 길이를 $\displaystyle r$이라 할 때, 부채꼴 $\displaystyle O\mathrm{P}_1\mathrm{P}_2$의 호의 길이 $\displaystyle l$은$\displaystyle l=r\theta=1\times\frac\pi3=\frac\pi3$ (또는 $\displaystyle \frac16\times2\pi=\frac\pi3$). $\displaystyle (5)$

부채꼴 $\displaystyle O\mathrm{P}_1\mathrm{P}_2$의 넓이 $\displaystyle S$는$\displaystyle S=\frac12r^2\theta=\frac12\times1\times\frac\pi3=\frac\pi6$ (또는 $\displaystyle \frac16\times\pi=\frac\pi6$). $\displaystyle (6)$

[예시답안 1]원점 $\displaystyle \mathrm{O}$와 점 $\displaystyle \mathrm{P}$를 지나는 동경 $\displaystyle \mathrm{OP}$가 나타내는 각의 크기를 $\displaystyle \theta$라 하였으므로$\displaystyle 0<\theta<\pi$, $\displaystyle \theta\ne\frac\pi2$이다. 이때,$\displaystyle -1<\cos\theta<0$ 또는 $\displaystyle 0<\cos\theta<1$ $\displaystyle (7)$이고

점 $\displaystyle \mathrm{Q}$의 좌표는 $\displaystyle \left(\frac1{\cos\theta},0\right)$ $\displaystyle (8)$이다.

점 $\displaystyle \mathrm{P}$에서 $\displaystyle x$축에 내린 수선의 발을 $\displaystyle \mathrm{H}$라 할 때, 점 $\displaystyle \mathrm{B}$의 $\displaystyle x$좌표는$\displaystyle 2\overline{\mathrm{AH}}-1=2(1+\cos\theta)-1=2\cos\theta+1\qquad(9)$이고,

$\displaystyle \overline{\mathrm{BQ}}=|\overline{\mathrm{OB}}-\overline{\mathrm{OQ}}|=\frac{|2\cos^2\theta+\cos\theta-1|}{|\cos\theta|}=\frac{|(2\cos\theta-1)(\cos\theta+1)|}{|\cos\theta|}\qquad(10)$이다.

$\displaystyle \cos\theta\ne-1$이므로 $\displaystyle \overline{\mathrm{BQ}}$는$\displaystyle \cos\theta=\frac12\qquad(11)$일 때,

즉 $\displaystyle \theta=\frac\pi3$(또는 $\displaystyle 60^{\circ}$)일 때 최소이고 $\displaystyle (12)$최솟값 $\displaystyle 0$을 가진다.

이때,$\displaystyle \angle\mathrm{PAB}=\frac12\angle\mathrm{POB}=\frac\pi6$(또는 $\displaystyle 30^{\circ}$) $\displaystyle (13)$이므로 직선 $\displaystyle \mathrm{AP}$의 기울기는$\displaystyle m=\tan\frac\pi6=\frac{\sqrt3}{3}.\qquad(14)$

[문제 2-3]점 $\displaystyle \mathrm{P}$의 좌표가 $\displaystyle \mathrm{P}(p,q)$일 때, 두 점 $\displaystyle \mathrm{A}(-1,0)$과 $\displaystyle \mathrm{P}(p,q)$를 지나는 직선 $\displaystyle \mathrm{AP}$의 기울기 $\displaystyle a_n=\frac{q}{p+1}$ ($\displaystyle q>0$)이다. $\displaystyle \overline{\mathrm{AP}}=\overline{\mathrm{PB}}$이므로 $\displaystyle p$는 선분 $\displaystyle \mathrm{AB}$의 중점의 $\displaystyle x$좌표이고$\displaystyle p=\frac{-1+\left(3-\frac4{4^n+1}\right)}2=1-\frac2{4^n+1}=\frac{4^n-1}{4^n+1}\qquad(42)$이다.

점 $\displaystyle \mathrm{P}$는 원 $\displaystyle C$ 위의 점이므로 $\displaystyle p^2+q^2=1$이다.$\displaystyle q^2=1-\left(\frac{4^n-1}{4^n+1}\right)^2\qquad(43)$

$\displaystyle \begin{aligned}q^2&=\frac{(4^n+1)^2-(4^n-1)^2}{(4^n+1)^2}=\frac{4^{2n}+2\times4^n+1-4^{2n}+2\times4^n-1}{(4^n+1)^2}\\&=\frac{4\times4^n}{(4^n+1)^2}=\left(\frac{2\times2^n}{4^n+1}\right)^2\end{aligned}$이고 $\displaystyle q>0$에서$\displaystyle q=\frac{2^{n+1}}{4^n+1}\qquad(44)$이다.

직선 $\displaystyle \mathrm{AP}$의 기울기 $\displaystyle a_n=\frac{q}{p+1}$에서$\displaystyle a_n=\frac{\frac{2^{n+1}}{4^n+1}}{\frac{4^n-1}{4^n+1}+1}\qquad(45)$이므로 $\displaystyle a_n=\frac{2^{n+1}}{4^n-1+4^n+1}=\frac{2^{n+1}}{2\times4^n}$이고,$\displaystyle a_n=\frac1{2^n}$ (또는 $\displaystyle \frac1{a_n}=2^n$) $\displaystyle (46)$이다.

$\displaystyle \log\frac1{a_n}=\log2^n=n\log2$이므로 $\displaystyle \log\frac1{a_n}>10$에서$\displaystyle 0.30n>10\qquad(47)$이다. $\displaystyle n>\frac{10}{0.30}=\frac{1000}{30}\fallingdotseq33.33$이므로$\displaystyle n$의 최솟값은 $\displaystyle 34$ $\displaystyle (48)$이다.