자연계열 1번

[문제 1-1](i)$\displaystyle f^{\prime}(x)=2x$이고 접점의 $\displaystyle x$좌표가 $\displaystyle 1$이므로 직선 $\displaystyle L$의 기울기는$\displaystyle f^{\prime}(1)=2\qquad(1)$이다.

두 점을 $\displaystyle \mathrm{A}(\alpha,\alpha^2+1)$, $\displaystyle \mathrm{B}(\beta,\beta^2+1)$($\displaystyle \alpha<0<\beta$)라 하면 $\displaystyle m:n=1:2$이므로$\displaystyle \beta=-2\alpha\qquad(2)$이다.

따라서 $\displaystyle \mathrm{A}(\alpha,\alpha^2+1)$, $\displaystyle \mathrm{B}(-2\alpha,4\alpha^2+1)$이다. 직선 $\displaystyle L$이 두 점 $\displaystyle \mathrm{A}$, $\displaystyle \mathrm{B}$를 지나므로(직선 $\displaystyle L$의 기울기)$\displaystyle =\frac{(4\alpha^2+1)-(\alpha^2+1)}{-2\alpha-\alpha}=\frac{3\alpha^2}{-3\alpha}=2$이고$\displaystyle \alpha=-2\qquad(3)$이다. 따라서 $\displaystyle \mathrm{A}(-2,5)$, $\displaystyle \mathrm{B}(4,17)$이다.

(ⅰ), (ⅱ) 또는 (iii)에 의하여 직선 $\displaystyle L$의 방정식은$\displaystyle y=2x+9\qquad(10)$

[문제 1-2]다음의 (ⅰ), (ii) 또는 (ⅱi)를 이용하여 직선 $\displaystyle L$의 방정식을 구한다.(ⅰ) $\displaystyle f^{\prime}(x)=2x$이고 접점의 $\displaystyle x$좌표가 $\displaystyle t$이므로 직선 $\displaystyle L$의 기울기는$\displaystyle f^{\prime}(t)=2t\qquad(11)$이다.

두 점을 $\displaystyle \mathrm{A}(\alpha,\alpha^2+1)$, $\displaystyle \mathrm{B}(\beta,\beta^2+1)$($\displaystyle \alpha<0<\beta$)라 하면 $\displaystyle m:n=1:2$이므로$\displaystyle \beta=-2\alpha\qquad(12)$이다.

따라서 $\displaystyle \mathrm{A}(\alpha,\alpha^2+1)$, $\displaystyle \mathrm{B}(-2\alpha,4\alpha^2+1)$이다.직선 $\displaystyle L$이 두 점 $\displaystyle \mathrm{A}$, $\displaystyle \mathrm{B}$를 지나므로(직선 $\displaystyle L$의 기울기)$\displaystyle =\frac{(4\alpha^2+1)-(\alpha^2+1)}{-2\alpha-\alpha}=\frac{3\alpha^2}{-3\alpha}=2t$이고$\displaystyle \alpha=-2t\qquad(13)$이다.

따라서$\displaystyle \mathrm{A}(-2t,4t^2+1),\quad\mathrm{B}(4t,16t^2+1)\qquad(14)$이다.

(ⅰ), (ii) 또는 (ⅱi)에 의하여 직선 $\displaystyle L$의 방정식은$\displaystyle y=2tx+8t^2+1\qquad(23)$이고,

$\displaystyle \begin{aligned}S(t)&=\int_1^t\{(2tx+8t^2+1)-(x^2+1)\}dx&&\quad(24)\\&=\int_1^t(-x^2+2tx+8t^2)dx\\&=\Biggl[-\frac13x^3+tx^2+8t^2x\Biggr]_1^t&&\quad(25)\\&=\left(-\frac13t^3+t^3+8t^3\right)-\left(-\frac13+t+8t^2\right)\\&=\frac{26}{3}t^3-8t^2-t+\frac13.&&\quad(26)\end{aligned}$

[문제 1-3]다음의 (ⅰ), (ii) 또는 (ⅱi)를 이용하여 직선 $\displaystyle L$의 방정식을 구한다.(ⅰ) $\displaystyle f^{\prime}(x)=2x$이고 접점의 $\displaystyle x$좌표가 $\displaystyle t$이므로$\displaystyle f^{\prime}(t)=2t\qquad(27)$이다.

두 점을 $\displaystyle \mathrm{A}(\alpha,\alpha^2+1)$, $\displaystyle \mathrm{B}(\beta,\beta^2+1)$($\displaystyle \alpha<0<\beta$)라 하면 $\displaystyle m:n=t:t+1$이므로$\displaystyle \beta=-\frac{t+1}{t}\alpha\qquad(28)$이다.

따라서 $\displaystyle \mathrm{A}(\alpha,\alpha^2+1)$, $\displaystyle \mathrm{B}\left(-\frac{t+1}{t}\alpha,\frac{(t+1)^2}{t^2}\alpha^2+1\right)$이다.직선 $\displaystyle L$이 두 점 $\displaystyle \mathrm{A}$, $\displaystyle \mathrm{B}$를 지나므로$\displaystyle \begin{aligned}(\text{직선 }L\text{의 기울기})&=\frac{\left\{\frac{(t+1)^2}{t^2}\alpha^2+1\right\}-(\alpha^2+1)}{-\frac{t+1}{t}\alpha-\alpha}=\frac{(t+1)^2\alpha^2-t^2\alpha^2}{-t(t+1)\alpha-t^2\alpha}\\&=\frac{(2t+1)\alpha^2}{-t(2t+1)\alpha}=\frac{\alpha}{-t}=2t\end{aligned}$이고,$\displaystyle \alpha=-2t^2\qquad(29)$이다.

따라서$\displaystyle \mathrm{A}(-2t^2,4t^4+1),\quad\mathrm{B}(2t(t+1),4t^2(t+1)^2+1)\qquad(30)$이다.

(ⅰ), (ii) 또는 (ⅱi)에 의하여 직선 $\displaystyle L$의 방정식은$\displaystyle y=2tx+4t^4+4t^3+1\qquad(39)$이고, $\displaystyle g(t)=2t$, $\displaystyle h(t)=4t^4+4t^3+1$이다.

$\displaystyle \begin{aligned}\lim_{t\to\infty}\frac{2\sqrt{h(t)}-\{g(t)\}^2}{2t}&=\lim_{t\to\infty}\frac{\sqrt{4t^4+4t^3+1}-2t^2}{t}&&\quad(40)\\&=\lim_{t\to\infty}\left\{\frac{\sqrt{4t^4+4t^3+1}-2t^2}{t}\times\frac{\sqrt{4t^4+4t^3+1}+2t^2}{\sqrt{4t^4+4t^3+1}+2t^2}\right\}\\&=\lim_{t\to\infty}\frac{4t^3+1}{t\times(\sqrt{4t^4+4t^3+1}+2t^2)}&&\quad(41)\\&=\lim_{t\to\infty}\frac{4+\frac1{t^3}}{\sqrt{4+\frac4t+\frac1{t^4}}+2}\\&=1&&\quad(42)\end{aligned}$