자연계열 2번

$\displaystyle n=1$일 때 직선은 $\displaystyle y=-\sqrt3x+k_1$이다. $\displaystyle y=-\sqrt3x+k_1$은 원 $\displaystyle C_1$과 한 점에서 접한다. 원 $\displaystyle C_1$의 반지름은 $\displaystyle r_1=1$이다.원 $\displaystyle C_1$의 중심은$\displaystyle (0,r_1)=(0,1)\qquad(1)$

이므로 원 $\displaystyle C_1$의 중심과 직선 $\displaystyle y=-\sqrt3x+k_1$과의 거리는 $\displaystyle r_1=1$이다. (2)

직선 $\displaystyle y=-\sqrt3x+k_1$은 $\displaystyle \sqrt3x+y-k_1=0$으로 표현할 수 있으므로 점 $\displaystyle (0,r_1)$과 $\displaystyle \sqrt3x+y-k_1=0$의 거리를 구하면 다음이 성립한다.$\displaystyle r_1=1=\frac{|\sqrt3\times0+r_1-k_1|}{\sqrt{(\sqrt3)^2+1^2}}=\frac{|1-k_1|}{\sqrt4}\qquad(3)$

양변을 제곱하면$\displaystyle 1=\frac{1-2k_1+k_1^2}{4}$이다. 따라서,$\displaystyle k_1^2-2r_1k_1-3=(k_1+1)(k_1-3)=0\qquad(4)$

이고 $\displaystyle k_1$의 근을 구하면 $\displaystyle k_1=-1$, $\displaystyle 3$이고 $\displaystyle k_1$은 양수이므로 $\displaystyle k_1=3$이다. (5)

직선 $\displaystyle y=-\sqrt3x+k_n$은 원 $\displaystyle C_n$과 한 점에서 접한다. 원 $\displaystyle C_n$의 반지름은 $\displaystyle r_n=2^{n-1}$이다. 원 $\displaystyle C_n$의 중심의 좌표는 $\displaystyle (0,r_n)$이므로 원 $\displaystyle C_n$의 중심과 직선 $\displaystyle y=-\sqrt3x+k_n$과의 거리는 $\displaystyle r_n=2^{n-1}$이다. 직선 $\displaystyle y=-\sqrt3x+k_n$은 $\displaystyle \sqrt3x+y-k_n=0$으로 표현할 수 있으므로 점 $\displaystyle (0,r_n)$과 $\displaystyle \sqrt3x+y-k_n=0$의 거리를 구하면 다음이 성립한다.$\displaystyle r_n=\frac{|\sqrt3\times0+r_n-k_n|}{\sqrt{(\sqrt3)^2+1^2}}=\frac{|r_n-k_n|}{\sqrt4}\qquad(6)$

양변을 제곱하면$\displaystyle r_n^2=\frac{r_n^2-2r_nk_n+k_n^2}{4}$이다. 따라서,$\displaystyle k_n^2-2r_nk_n-3r_n^2=(k_n+r_n)(k_n-3r_n)=0$이고 $\displaystyle k_n$의 근을 구하면 $\displaystyle k_n=-r_n$, $\displaystyle 3r_n$이고 $\displaystyle k_n$은 양수이므로 다음과 같다.$\displaystyle k_n=3r_n=3\times2^{n-1}\qquad(7)$

직선 $\displaystyle y=-\sqrt3x+k_n$과 원 $\displaystyle C_n$이 만나는 점을 $\displaystyle \mathrm{A}$라 하고, $\displaystyle \mathrm{A}$의 $\displaystyle x$좌표를 $\displaystyle x_n$이라 하자. 접점 $\displaystyle \mathrm{A}$에서 $\displaystyle y$축에 수선을 내렸을 때 $\displaystyle y$축과 만나는 점을 $\displaystyle \mathrm{Q}$라 하자. 원 $\displaystyle C_n$의 중심 $\displaystyle (0,r_n)$을 $\displaystyle \mathrm{B}$라 하면 접점 $\displaystyle \mathrm{A}$와 점 $\displaystyle \mathrm{B}$를 지나는 직선은 접점 $\displaystyle \mathrm{A}$에서의 접선과 직각을 이룬다. 그러므로 접점 $\displaystyle \mathrm{A}$와 점 $\displaystyle \mathrm{B}$를 지나는 직선의기울기는 $\displaystyle \frac1{\sqrt3}$이므로 (8)

각 $\displaystyle \mathrm{BAQ}$는 $\displaystyle \frac\pi6$이다. 따라서 $\displaystyle \mathrm{A}$의 $\displaystyle x$좌표 $\displaystyle x_n$은 다음과 같다.$\displaystyle x_n=r_n\cos\frac\pi6=r_n\frac{\sqrt3}{2}=\frac{\sqrt3}{2}2^{n-1}=\sqrt3\times2^{n-2}\qquad(9)$

직선 $\displaystyle y=-\sqrt3x+k_n$과 $\displaystyle y$축과 만나는 점을 $\displaystyle \mathrm{P}$라 하면 선분 $\displaystyle \mathrm{BP}$의 길이는$\displaystyle k_n-r_n=3r_n-r_n=2r_n=2\times2^{n-1}=2^n\qquad(10)$

이다. 그러므로 식 (9)와 (10)을 이용하여 삼각형 $\displaystyle \mathrm{BAP}$의 넓이는$\displaystyle \frac12(k_n-r_n)x_n=\frac12\times2^n\times\sqrt3\times2^{n-2}=\sqrt3\times2^{2n-3}\qquad(11)$

가 된다. 한편 각 $\displaystyle \mathrm{BAQ}$는 $\displaystyle \frac\pi6$이므로 각 $\displaystyle \mathrm{ABQ}$는 $\displaystyle \frac\pi3$이다. 그러므로 원점이 아닌 원 $\displaystyle C_n$과 $\displaystyle y$축이 만나는 점을 $\displaystyle \mathrm{R}$이라 하면 부채꼴 $\displaystyle \mathrm{ABR}$의 넓이는 다음과 같다.$\displaystyle \frac12r_n^2\frac\pi3=\frac\pi6r_n^2=\frac\pi6 2^{2n-2}\qquad(12)$

따라서, 넓이 $\displaystyle S_n$은 식 (11)과 (12)의 차로 구하면 다음과 같다.$\displaystyle S_n=\frac{\sqrt3}{2}2^{2n-2}-\frac\pi6 2^{2n-2}=2^{2n-2}\left(\frac{\sqrt3}{2}-\frac\pi6\right)\qquad(13)$

[문제 2-2]의 결과에 의해 자연수 $\displaystyle n$에 대하여 $\displaystyle S_n=2^{2n-2}\left(\frac{\sqrt3}{2}-\frac\pi6\right)$이다. 그러므로$\displaystyle \begin{aligned}\log_2(S_1\times S_2\times\cdots\times S_N)\\=\log_2S_1+\log_2S_2+\cdots+\log_2S_N\end{aligned}\qquad(14)$

$\displaystyle \begin{aligned}&=\sum_{n=1}^N\log_2S_n\\&=\sum_{n=1}^N\log_2 2^{2n-2}\left(\frac{\sqrt3}{2}-\frac\pi6\right)\\&=\sum_{n=1}^N\left\{\log_2 2^{2n-2}+\log_2\left(\frac{\sqrt3}{2}-\frac\pi6\right)\right\}\\&=\sum_{n=1}^N(2n-2)+N\log_2\left(\frac{\sqrt3}{2}-\frac\pi6\right)\end{aligned}\qquad(15)$

가 된다. 따라서$\displaystyle \begin{aligned}&\log_2(S_1\times S_2\times\cdots\times S_N)-N\log_2\left(\frac{\sqrt3}{2}-\frac\pi6\right)\\&=\sum_{n=1}^N(2n-2)=2\frac{N(N+1)}2-2N=N(N+1)-2N\\&=N^2-N=N(N-1)\ge100\end{aligned}\qquad(16)$

이 된다. $\displaystyle N\ge11$이면 $\displaystyle N(N-1)\ge100$이므로 최소의 자연수 $\displaystyle N$은 11이다. (17)