자연계열 1번

$\displaystyle x^2-ax=-x^2+a^2$이라고 하면 $\displaystyle 2x^2-ax-a^2=0$이다.따라서 $\displaystyle x=a$ 또는 $\displaystyle x=-\frac a2$이다.이때 각각 $\displaystyle y=0$, $\displaystyle y=\frac34a^2$이다.

두 점 $\displaystyle (a,0)$와 $\displaystyle \left(-\frac a2,\frac34a^2\right)$을 지나는 직선의 기울기는$\displaystyle \frac{\frac34a^2-0}{-\frac a2-a}=-\frac a2$이다.

따라서 두 곡선이 만나는 두 점을 지나는 직선의 방정식은$\displaystyle y-0=-\frac a2(x-a)$이다. 즉,$\displaystyle y=-\frac a2x+\frac{a^2}{2}$이다.

$\displaystyle f(x)=x^2-ax$, $\displaystyle g(x)=-x^2+a^2$라고 하면$\displaystyle f^{\prime}(x)=2x-a$, $\displaystyle g^{\prime}(x)=-2x$이다.

$\displaystyle f^{\prime}(x)=2x-a=-\frac a2$이면 $\displaystyle x=\frac a4$이고 이때 $\displaystyle y=-\frac3{16}a^2$이다.따라서 $\displaystyle \left(\frac a4,-\frac3{16}a^2\right)$에서 함수 $\displaystyle y=f(x)$의 그래프의 접선이 [문제 1-1]에서 구한 직선과 평행이다.

$\displaystyle g^{\prime}(x)=-2x=-\frac a2$이면 $\displaystyle x=\frac a4$이고 이때 $\displaystyle y=\frac{15}{16}a^2$이다.따라서 $\displaystyle \left(\frac a4,\frac{15}{16}a^2\right)$에서 함수 $\displaystyle y=g(x)$의 그래프의 접선이 [문제 1-1]에서 구한 직선과 평행이다.

두 곡선으로 둘러싸인 도형의 넓이는$\displaystyle \int_{-\frac a2}^a\{(-x^2+a^2)-(x^2-ax)\}\,dx=\int_{-\frac a2}^a(-2x^2+ax+a^2)\,dx=\Biggl[-\frac23x^3+\frac a2x^2+a^2x\Biggr]_{-\frac a2}^a=\frac98a^3$이다.

$\displaystyle S_a=\frac98a^3$이므로 로그의 성질을 이용하면 자연수 $\displaystyle n$에 대하여$\displaystyle \log S_n=\log\frac98n^3=\log\frac{3^2}{2^3}n^3=2\log3-3\log2+3\log n$이다.

$\displaystyle \log S_n<2.97$이므로 $\displaystyle 2\log3-3\log2+3\log n<2.97$를 만족하는 최대인 자연수 $\displaystyle n$을 구하면 된다.$\displaystyle \log2=0.30$, $\displaystyle \log3=0.48$을 이용하면 $\displaystyle 0.06+3\log n<2.97$이다.따라서 $\displaystyle 3\log n<2.91$, 즉 $\displaystyle \log n<0.97$이다.

$\displaystyle n=9=3^2$이면 $\displaystyle \log9=2\log3=0.96$이고 $\displaystyle n=10$이면 $\displaystyle \log10=1$이므로 조건을 만족하는 자연수 $\displaystyle n$의 최댓값은 9이다.