수리논술, 이게 다다.

자연계열 II 2번

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덕성여대 2026학년도 모의 자연계열 II 2번 · mathesis.kr/archive/duksung/2026mo/jayeon2_2

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문제

자연수 n\displaystyle n에 대하여 함수 f(x)=∣2x2−(12)n∣\displaystyle f(x)=\left|2x^2-\left(\frac12\right)^n\right|이 있다.

(가) x\displaystyle x에 대한 방정식 f(x)=(12)n+1\displaystyle f(x)=\left(\frac12\right)^{n+1}의 서로 다른 실근은 x1\displaystyle x_1, x2\displaystyle x_2, x3\displaystyle x_3, x4\displaystyle x_4이다. (단, x1<x2<x3<x4\displaystyle x_1<x_2<x_3<x_4)

(나) 두 점 A(x2,(12)n+1)\displaystyle \mathrm{A}\left(x_2,\left(\frac12\right)^{n+1}\right), B(x3,(12)n+1)\displaystyle \mathrm{B}\left(x_3,\left(\frac12\right)^{n+1}\right)에 대하여 선분 AB\displaystyle \mathrm{AB}와 x\displaystyle x축 및 함수 y=f(x)\displaystyle y=f(x)의 그래프로 둘러싸인 도형의 넓이는 an\displaystyle a_n이다.

[문제 2-1] a1\displaystyle a_1의 값을 구하시오. [5점]

[문제 2-2] 두 유리수 p\displaystyle p, q\displaystyle q와 실수 r\displaystyle r에 대하여 an=(p+q2)×rn\displaystyle a_n=(p+q\sqrt2)\times r^n일 때, (1pqr)2\displaystyle \left(\frac1{pqr}\right)^2의 값을 구하시오. [15점]

[문제 2-3] 두 유리수 s\displaystyle s, t\displaystyle t에 대하여 ∑n=15{(2)n×an}=s+t2\displaystyle \sum_{n=1}^5\left\{(\sqrt2)^n\times a_n\right\}=s+t\sqrt2일 때, 192(s+t)\displaystyle 192(s+t)의 값을 구하시오. [15점]

해설강의 준비중

덕성여대 2026학년도 모의 자연계열 II 2번 · mathesis.kr/archive/duksung/2026mo/jayeon2_2

[문제 2-1]

a1\displaystyle a_1의 값을 구하시오.

[문제 2-1 답안]

+5점 · 도형의 넓이 a1\displaystyle a_1을 정확히 계산하면 - E(0점): 문제의 의미를 알지 못한다. - A(5점): 제시문을 이해하고 f(x)=∣2x2−12∣\displaystyle f(x)=\left|2x^2-\frac12\right|의 그래프와 y=0\displaystyle y=0의 교점, f(x)=∣2x2−12∣\displaystyle f(x)=\left|2x^2-\frac12\right|의 그래프와 y=14\displaystyle y=\frac14의 교점을 찾아, 교점의 x\displaystyle x좌표를 크기 순서대로 x1,x2,x3,x4\displaystyle x_1,x_2,x_3,x_4로 구하고 x1,x2,x3,x4\displaystyle x_1,x_2,x_3,x_4를 범위로 하는 정적분을 통해 도형 a1\displaystyle a_1의 넓이를 정확히 구하였다.

Comment. 제시문의 x1,x2,x3,x4\displaystyle x_1,x_2,x_3,x_4는 수평선과 그래프의 네 교점의 x\displaystyle x좌표이다. 채점기준은 x\displaystyle x축과의 교점까지 함께 언급하면서 적분 경계를 x1,x2,x3,x4\displaystyle x_1,x_2,x_3,x_4로 적어 어느 점을 뜻하는지 모호하다. 실제 넓이는 대학 예시답안처럼 f(x)=0\displaystyle f(x)=0의 두 근과 x2\displaystyle x_2, x3\displaystyle x_3를 경계로 계산한다. 원칙에 따라 원문 표기를 그대로 실었다.

a1\displaystyle a_1의 구하기 위해 방정식 f(x)=∣2x2−12∣=14\displaystyle f(x)=\left|2x^2-\frac12\right|=\frac14의 서로 다른 실근을 구하면

x1=−64\displaystyle x_1=-\frac{\sqrt6}{4}, x2=−24\displaystyle x_2=-\frac{\sqrt2}{4}, x3=24\displaystyle x_3=\frac{\sqrt2}{4}, x4=64\displaystyle x_4=\frac{\sqrt6}{4}이다. 또한 함수 y=f(x)\displaystyle y=f(x)의 그래프와 x\displaystyle x축으로 둘러싸인 영역을 계산하기 위해 ∣2x2−12∣=0\displaystyle \left|2x^2-\frac12\right|=0을 만족하는 두 근(x\displaystyle x값)을 구하면, x=−12\displaystyle x=-\frac12, x=12\displaystyle x=\frac12이다.

따라서 넓이 a1\displaystyle a_1은 다음과 같은 정적분을 통해 계산된다.

a1=∫−12−24(12−2x2)dx+∫−242414dx+∫2412(12−2x2)dx\displaystyle a_1=\int_{-\frac12}^{-\frac{\sqrt2}{4}}\left(\frac12-2x^2\right)dx+\int_{-\frac{\sqrt2}{4}}^{\frac{\sqrt2}{4}}\frac14dx+\int_{\frac{\sqrt2}{4}}^{\frac12}\left(\frac12-2x^2\right)dx

이 때, y=f(x)\displaystyle y=f(x)의 그래프가 y\displaystyle y축에 대하여 대칭이므로,

∫−12−24(12−2x2)dx=∫2412(12−2x2)dx=8−5248\displaystyle \int_{-\frac12}^{-\frac{\sqrt2}{4}}\left(\frac12-2x^2\right)dx=\int_{\frac{\sqrt2}{4}}^{\frac12}\left(\frac12-2x^2\right)dx=\frac{8-5\sqrt2}{48}

이고,

∫−242414dx=28\displaystyle \int_{-\frac{\sqrt2}{4}}^{\frac{\sqrt2}{4}}\frac14dx=\frac{\sqrt2}{8}

이므로, a1=4−212\displaystyle a_1=\frac{4-\sqrt2}{12}이다.

[문제 2-2]

두 유리수 p\displaystyle p, q\displaystyle q와 실수 r\displaystyle r에 대하여 an=(p+q2)×rn\displaystyle a_n=(p+q\sqrt2)\times r^n일 때, (1pqr)2\displaystyle \left(\frac1{pqr}\right)^2의 값을 구하시오.

[문제 2-2 답안]

+20점 · 도형의 넓이 an\displaystyle a_n을 표현하는 p\displaystyle p, q\displaystyle q, r\displaystyle r의 값을 구하고 이를 통해 최종 답을 계산하면 - E(0점): 문제의 의미를 알지 못한다. - C(5점): 제시문을 이해하고 f(x)=∣2x2−(12)n∣\displaystyle f(x)=\left|2x^2-\left(\frac12\right)^n\right|의 그래프와 y=0\displaystyle y=0의 교점과 f(x)=∣2x2−(12)n∣\displaystyle f(x)=\left|2x^2-\left(\frac12\right)^n\right|의 그래프와 y=(12)n+1\displaystyle y=\left(\frac12\right)^{n+1}의 교점을 찾아, 교점의 x\displaystyle x좌표를 크기 순서대로 x1,x2,x3,x4\displaystyle x_1,x_2,x_3,x_4를 구하였다. - B(10점): x1,x2,x3,x4\displaystyle x_1,x_2,x_3,x_4를 범위로 하는 정적분을 통해 도형 an\displaystyle a_n의 넓이를 정확히 구하고, - A(15점): 지수법칙을 통해 an=(p+q2)×rn\displaystyle a_n=(p+q\sqrt2)\times r^n로 표현하고, p\displaystyle p, q\displaystyle q, r\displaystyle r의 값을 구하여 최종 답을 정확히 계산하였다.

Correction. [문제 2-2]의 문제 배점과 채점기준의 A등급은 15\displaystyle 15점이므로, 이 단계의 20\displaystyle 20점은 15\displaystyle 15점의 오기이다. 그러나 원칙에 따라 원문 표기를 그대로 실었다.

Comment. 제시문의 x1,x2,x3,x4\displaystyle x_1,x_2,x_3,x_4는 수평선과 그래프의 네 교점의 x\displaystyle x좌표이다. 채점기준은 x\displaystyle x축과의 교점까지 함께 언급하면서 적분 경계를 x1,x2,x3,x4\displaystyle x_1,x_2,x_3,x_4로 적어 어느 점을 뜻하는지 모호하다. 실제 넓이는 대학 예시답안처럼 f(x)=0\displaystyle f(x)=0의 두 근과 x2\displaystyle x_2, x3\displaystyle x_3를 경계로 계산한다. 원칙에 따라 원문 표기를 그대로 실었다.

먼저, an\displaystyle a_n을 구하기 위해 f(x)=(12)n+1\displaystyle f(x)=\left(\frac12\right)^{n+1}의 서로 다른 네 실근을 구하면

x1=−32(22)n\displaystyle x_1=-\frac{\sqrt3}{2}\left(\frac{\sqrt2}{2}\right)^n, x2=−(22)n+2\displaystyle x_2=-\left(\frac{\sqrt2}{2}\right)^{n+2}, x3=(22)n+2\displaystyle x_3=\left(\frac{\sqrt2}{2}\right)^{n+2}, x4=32(22)n\displaystyle x_4=\frac{\sqrt3}{2}\left(\frac{\sqrt2}{2}\right)^n이다.

또한 x\displaystyle x축과 곡선 y=f(x)\displaystyle y=f(x)의 그래프로 둘러싸인 영역의 넓이를 구하기 위해 f(x)=0\displaystyle f(x)=0을 만족하는 두 근(x\displaystyle x값)을 구하면 x=−(22)n+1\displaystyle x=-\left(\frac{\sqrt2}{2}\right)^{n+1}, x=(22)n+1\displaystyle x=\left(\frac{\sqrt2}{2}\right)^{n+1}이다. 따라서 넓이 an\displaystyle a_n은 다음과 같은 정적분을 통해 계산된다.

an=∫−(22)n+1−(22)n+2((12)n−2x2)dx+∫−(22)n+2(22)n+2(12)n+1dx+∫(22)n+2(22)n+1((12)n−2x2)dx\displaystyle a_n=\int_{-\left(\frac{\sqrt2}{2}\right)^{n+1}}^{-\left(\frac{\sqrt2}{2}\right)^{n+2}}\left(\left(\frac12\right)^n-2x^2\right)dx+\int_{-\left(\frac{\sqrt2}{2}\right)^{n+2}}^{\left(\frac{\sqrt2}{2}\right)^{n+2}}\left(\frac12\right)^{n+1}dx+\int_{\left(\frac{\sqrt2}{2}\right)^{n+2}}^{\left(\frac{\sqrt2}{2}\right)^{n+1}}\left(\left(\frac12\right)^n-2x^2\right)dx

이 때, 곡선 y=f(x)\displaystyle y=f(x)의 그래프가 y\displaystyle y축에 대하여 대칭이므로,

∫−(22)n+1−(22)n+2((12)n−2x2)dx=∫(22)n+2(22)n+1((12)n−2x2)dx=(24)n(42−512)\displaystyle \int_{-\left(\frac{\sqrt2}{2}\right)^{n+1}}^{-\left(\frac{\sqrt2}{2}\right)^{n+2}}\left(\left(\frac12\right)^n-2x^2\right)dx=\int_{\left(\frac{\sqrt2}{2}\right)^{n+2}}^{\left(\frac{\sqrt2}{2}\right)^{n+1}}\left(\left(\frac12\right)^n-2x^2\right)dx=\left(\frac{\sqrt2}{4}\right)^n\left(\frac{4\sqrt2-5}{12}\right)

이고,

∫−(22)n+2(22)n+2(12)n+1dx=12(24)n\displaystyle \int_{-\left(\frac{\sqrt2}{2}\right)^{n+2}}^{\left(\frac{\sqrt2}{2}\right)^{n+2}}\left(\frac12\right)^{n+1}dx=\frac12\left(\frac{\sqrt2}{4}\right)^n

이므로, an=(24)n×22−13\displaystyle a_n=\left(\frac{\sqrt2}{4}\right)^n\times\frac{2\sqrt2-1}{3}이다. 이로부터, p=−13\displaystyle p=-\frac13, q=23\displaystyle q=\frac23, r=24\displaystyle r=\frac{\sqrt2}{4}임을 알 수 있고,

따라서 (1pqr)2=162\displaystyle \left(\frac1{pqr}\right)^2=162이다.

[문제 2-3]

두 유리수 s\displaystyle s, t\displaystyle t에 대하여 ∑n=15{(2)n×an}=s+t2\displaystyle \sum_{n=1}^5\left\{(\sqrt2)^n\times a_n\right\}=s+t\sqrt2일 때, 192(s+t)\displaystyle 192(s+t)의 값을 구하시오.

[문제 2-3 풀이]

+10점 · an\displaystyle a_n을 이용하여 등비수열의 합을 정확히 계산하고 이를 통해 최종 답을 정확히 구한다면 - E(0점): 문제의 의미를 알지 못한다. - C(5점): (2)nan\displaystyle (\sqrt2)^na_n를 계산하고 등비수열의 형태로 주어짐을 이해하였다. - B(10점): 등비수열의 합을 계산하였다. - A(15점): 등비수열의 합을 s+t2\displaystyle s+t\sqrt2의 형태로 표현하여 최종 답을 구하였다.

Correction. [문제 2-3]의 문제 배점과 채점기준의 A등급은 15\displaystyle 15점이므로, 이 단계의 10\displaystyle 10점은 15\displaystyle 15점의 오기이다. 그러나 원칙에 따라 원문 표기를 그대로 실었다.

(2)nan=(12)n22−13\displaystyle (\sqrt2)^na_n=\left(\frac12\right)^n\frac{2\sqrt2-1}{3}이고, 따라서 s=−3196\displaystyle s=-\frac{31}{96}, t=3148\displaystyle t=\frac{31}{48}이다.

즉, 192(s+t)=62\displaystyle 192(s+t)=62이다.

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