자연계열 II 3번

도함수의 정의에 의해

$\displaystyle \begin{aligned}f^{\prime}(x)&=\lim_{h\to0}\frac{f(x+h)-f(x)}h\\&=\lim_{h\to0}\frac{f\left(x\left(1+\frac hx\right)\right)-f(x)}h\\&=\lim_{h\to0}\frac{f(x)+f\left(1+\frac hx\right)-f(x)}h\\&=\lim_{h\to0}\frac{f\left(1+\frac hx\right)}h\end{aligned}\qquad(1)$

이때 주어진 조건 $\displaystyle f(ab)=f(a)+f(b)$에서 $\displaystyle a=b=1$일 때 $\displaystyle f(1)=f(1)+f(1)$이므로 $\displaystyle f(1)=0$이다. $\displaystyle (2)$

$\displaystyle f^{\prime}(x)=\lim_{h\to0}\frac{f\left(1+\frac hx\right)-f(1)}{\frac hx}\times\frac1x=\frac{f^{\prime}(1)}x$이다. $\displaystyle (3)$

$\displaystyle f(x)=\int f^{\prime}(x)dx=\int\frac{f^{\prime}(1)}x dx=f^{\prime}(1)\ln x+C$이고 $\displaystyle f(1)=0$이므로 $\displaystyle C=0$이다.

따라서 $\displaystyle f(x)=f^{\prime}(1)\ln x=k\ln x$이다. $\displaystyle (4)$

$\displaystyle g(x)=2k\ln\cos x+k\ln\csc x=2k\ln\cos x-k\ln\sin x$이므로

$\displaystyle g^{\prime}(x)=2k\times\frac{-\sin x}{\cos x}-k\times\frac{\cos x}{\sin x}$이고, $\displaystyle (5)$

직선의 기울기가 $\displaystyle -4\sqrt2$이므로 $\displaystyle 2k\times\frac{-\sin\theta}{\cos\theta}-k\times\frac{\cos\theta}{\sin\theta}=-4\sqrt2$가 성립한다. $\displaystyle (6)$

$\displaystyle \tan\theta=t$로 놓으면 $\displaystyle 2kt^2-4\sqrt2t+k=0$($\displaystyle t>0$)이고 판별식 $\displaystyle D=8-2k^2$이다. $\displaystyle (7)$Correction. 이차방정식 $\displaystyle 2kt^2-4\sqrt2t+k=0$의 판별식은 $\displaystyle D=32-8k^2$이므로, 원문의 $\displaystyle 8-2k^2$는 $\displaystyle D/4$에 해당한다. 그러나 원칙에 따라 원문 표기를 그대로 실었다.

(ⅰ) 이차함수 $\displaystyle y=2kt^2-4\sqrt2t+k$가 $\displaystyle x$축과 서로 다른 두 점에서 만나는 경우$\displaystyle D=8-2k^2>0$이므로 $\displaystyle 0<k<2$이다.

이차함수의 축의 방정식은 $\displaystyle x=\frac{\sqrt2}{k}>0$, $\displaystyle y$절편 $\displaystyle k>0$이므로$\displaystyle t>0$일 때 $\displaystyle x$축과의 교점이 2개다. 따라서 주어진 조건을 만족하지 않는다 $\displaystyle (8)$Caution. 곡선과 직선이 한 점에서만 만난다고 해서 그 직선이 접선인 것은 아니다. 접선도 접점 이외의 점에서 곡선과 만날 수 있다: 대학 답안의 이차방정식 $\displaystyle 2kt^2-4\sqrt2t+k=0$의 양의 근은 $\displaystyle \tan\theta$의 후보를 뜻하므로, 그 개수만으로 곡선과 한 직선의 교점 개수를 판단할 수는 없다. $\displaystyle H(x)=g(x)+4\sqrt2x$로 놓으면 교점은 $\displaystyle H(x)=n$의 해이고, 접점에서는 $\displaystyle H^{\prime}(x)=0$이다. $\displaystyle 0<k<2$일 때 $\displaystyle H$는 감소·증가·감소하며 양 끝에서 각각 $\displaystyle +\infty$, $\displaystyle -\infty$로 간다. 따라서 극솟값이나 극댓값을 지나는 수평선은 접점 외의 점에서 그래프와 한 번 더 만난다. $\displaystyle k=2$일 때에는 $\displaystyle H$가 구간 전체에서 엄격히 감소하여 접점이 유일한 교점이 된다. 그러므로 $\displaystyle k=2$, $\displaystyle \cos\theta=\frac{\sqrt6}3$이라는 답은 옳다. 그러나 원칙에 따라 원문 표기를 그대로 실었다.

따라서 $\displaystyle k=2$이므로 방정식 $\displaystyle 4t^2-4\sqrt2t+2=0$의 근은$\displaystyle t=\frac{\sqrt2\pm\sqrt{2-2}}2=\frac{\sqrt2}{2}$이다. $\displaystyle (10)$

$\displaystyle \tan\theta=\frac{\sqrt2}{2}$이므로 $\displaystyle \cos\theta=\frac{\sqrt6}{3}$이다. $\displaystyle (11)$

$\displaystyle f(x)=2\ln x$ ($\displaystyle x>0$)이므로 $\displaystyle h(x)=e^{\frac x2}$이다. $\displaystyle (12)$

$\displaystyle s(x)=\frac{h(4x)+1}{2h(2x)}=\frac{e^{2x}+1}{2e^x}=\frac{e^x+e^{-x}}2$, $\displaystyle c(x)=\frac{h(2x)-h(-2x)}2=\frac{e^x-e^{-x}}2$이고

$\displaystyle \int_0^{\ln3}\frac1{2s(x)-c(x)}dx=\int_0^{\ln3}\frac2{e^x+3e^{-x}}dx$이다. $\displaystyle (13)$

$\displaystyle x=\ln u$로 놓으면 $\displaystyle \frac{dx}{du}=\frac1u$이고, $\displaystyle (14)$

$\displaystyle x=0$일 때 $\displaystyle u=1$, $\displaystyle x=\ln3$일 때 $\displaystyle u=3$이므로

$\displaystyle \int_0^{\ln3}\frac2{e^x+3e^{-x}}dx=\int_1^3\frac2{u+\frac3u}\times\frac1u du=2\int_1^3\frac1{u^2+3}du$이다. $\displaystyle (15)$

$\displaystyle u=\sqrt3\tan\theta$로 놓으면 $\displaystyle \frac{du}{d\theta}=\sqrt3\sec^2\theta$이고, $\displaystyle \left(u>0\text{ 조건에서 }0<\theta<\frac\pi2\right)$ $\displaystyle (16)$

$\displaystyle u=1$일 때 $\displaystyle \theta=\frac\pi6$, $\displaystyle u=3$일 때 $\displaystyle \theta=\frac\pi3$이므로 $\displaystyle (17)$

$\displaystyle \begin{aligned}2\int_1^3\frac1{u^2+3}du&=2\int_{\frac\pi6}^{\frac\pi3}\frac1{3(\tan^2\theta+1)}\times\sqrt3\sec^2\theta\,d\theta\\&=2\int_{\frac\pi6}^{\frac\pi3}\frac{\sqrt3\sec^2\theta}{3\sec^2\theta}d\theta\\&=\frac{2\sqrt3}{3}\left(\frac\pi3-\frac\pi6\right)\\&=\frac{\sqrt3}{9}\pi\end{aligned}$이다. $\displaystyle (18)$