자연계열 4번

급수 $\displaystyle S_n=1+\frac1{\sqrt2}+\frac1{\sqrt3}+\cdots+\frac1{\sqrt n}$이라 하자. 다음과 같은 과정을 이용하여, $\displaystyle S_{100}$의 근사값 $\displaystyle [S_{100}]$을 구하고자 한다. (여기에서 $\displaystyle [x]$는 실수 $\displaystyle x$에 대하여 $\displaystyle x$를 넘지 않는 가장 큰 정수를 나타낸다.) [20점]

(1) 모든 자연수 $\displaystyle k$에 대하여 $\displaystyle \frac1{\sqrt{k+1}}<\int_k^{k+1}\frac1{\sqrt x}\,dx<\frac1{\sqrt k}$임을 아래 그래프를 이용하여 설명하시오.

(2) 위의 결과를 이용하여, $\displaystyle \left[1+\frac1{\sqrt2}+\frac1{\sqrt3}+\cdots+\frac1{\sqrt{100}}\right]$을 구하는 방법을 설명하고 그 값을 찾으시오.