자연계열 3번

어떤 사람의 출생년도 $\displaystyle n(1\le n\le2010)$은 2에서 12까지 11개의 자연수 중 정확히 9개를 약수로 가지고 있다. 영희는 다음과 같은 과정을 통해, 위의 조건을 만족하는 $\displaystyle n$을 구하고자 하였다.

(가) $\displaystyle n$이 2의 배수가 아니라고 가정하면, 4, 6, 8, 10, 12도 $\displaystyle n$의 약수가 아니다. 따라서 $\displaystyle n$이 11개의 자연수 중에서 9개를 약수로 가진다는 조건에 모순되므로, $\displaystyle n$은 2의 배수임을 알 수 있다.

(나) $\displaystyle n$이 5의 배수가 아니라고 가정하면, 10도 $\displaystyle n$의 약수가 아니므로, 나머지 2, 3, 4, 6, 7, 8, 9, 11, 12는 $\displaystyle n$의 약수이다. 따라서 $\displaystyle n$은 $\displaystyle 2^3\cdot3^2\cdot7\cdot11=5544$의 배수이어야 하는데, 이는 2010보다 작다는 조건을 만족하지 않으므로, $\displaystyle n$은 5의 배수임을 알 수 있다.