자연계열 2번

(1) 임의의 자연수 $\displaystyle n$에 대하여 $\displaystyle 10^{n}$에서 $\displaystyle 10^{n+1}$ 사이에 있는 자연수들의 자리수는 ($\displaystyle 10^{n+1}$으로는 S의 원소를 만들 수 없으므로 제외하면) $\displaystyle n+1$개다. 이들 중 0을 자리숫자로 가지지 않는 자연수의 자리수로 나타날 수 있는 자연수는 0을 제외한 1부터 9까지의 총 9개의 숫자만 가능하다. 그러므로 첫 번째 나타날 수 있는 모든 가능한 자리숫자들 9가지의 경우의 각각에 대하여 두 번째 나타날 수 있는 모든 가능한 자리숫자들 9가지의 경우가 있고, 이를 반복적으로 적용하면 총 $\displaystyle 9\cdot9\cdots9=9^{n+1}$을 얻게 된다.

(2) $\displaystyle 1\le a_{n}\le10$의 경우에 $\displaystyle \frac{1}{a_{n}}\le1$이고, $\displaystyle 10\le a_{n}\le100$의 경우에 $\displaystyle \frac{1}{a_{n}}\le\frac{1}{10}$이고,일반적으로, $\displaystyle 10^{n}\le a_{k}\le10^{n+1}$의 경우에 $\displaystyle \frac{1}{a_{k}}\le\frac{1}{10^{n}}$이다.

위의 사실과 (1)의 결과를 이용하여$\displaystyle \begin{aligned} \sum_{\frac{1}{a_{n}}\in S,\ 1\le a_{n}\le10}\frac{1}{a_{n}} &\le \frac{1}{10^{0}}\cdot9, \\ \sum_{\frac{1}{a_{n}}\in S,\ 10\le a_{n}\le10^{2}}\frac{1}{a_{n}} &\le \frac{1}{10}\cdot9^{2},\ \cdots \end{aligned}$등을 반복적으로 얻을 수 있다. 따라서,

$\displaystyle \sum_{\frac{1}{a_{n}}\in S}\frac{1}{a_{n}}\le\frac{1}{10^{0}}\cdot9+\frac{1}{10^{1}}\cdot9^{2}+\cdots+\frac{1}{10^{n-1}}\cdot9^{n}+\cdots=10\sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{9}{10}\right)^{n}=10\cdot\frac{9/10}{1-9/10}=90$이므로 주어진 급수는 수렴한다.