자연계열 1번

$\displaystyle n$번째 해에 발생하는 불량품의 개수를 $\displaystyle a_n$이라 하면 주어진 조건에서 수열 $\displaystyle a_n$은 $\displaystyle a_n=\frac12(a_{n-1}+a_{n-2})$를 만족한다. 점화식 $\displaystyle a_n=\frac12(a_{n-1}+a_{n-2})$을 변형하면 $\displaystyle 2a_n=a_{n-1}+a_{n-2}=2a_{n-1}+a_{n-2}-a_{n-1}$에서 $\displaystyle 2a_n+a_{n-1}=2a_{n-1}+a_{n-2}=2a_2+a_1=4000$을 얻을 수 있다.

그런데 $\displaystyle a_n=-\frac12a_{n-1}+2000$로 바꿀 수 있으므로, 이 점화식을 $\displaystyle a_n-\alpha=p(a_{n-1}-\alpha)$의 형태로 변형시키면 $\displaystyle a_n-\frac{4000}3=\left(-\frac12\right)\left(a_{n-1}-\frac{4000}3\right)$가 된다. 새로 얻은 수열 $\displaystyle b_n=a_n-\frac{4000}3$은 첫째항이 $\displaystyle -\frac{1000}3$이고 공비가 $\displaystyle -\frac12$인 등비수열이므로 그 일반항은 $\displaystyle b_n=-\frac{1000}3\left(-\frac12\right)^{n-1}=\frac{2000}3\left(-\frac12\right)^n$으로 주어진다. 따라서 $\displaystyle a_n=\frac{2000}3\left(-\frac12\right)^n+\frac{4000}3$을 찾을 수 있다.