자연계열 I 3번

(1) 주어진 두 직선 $\displaystyle l_1,l_2$이 $\displaystyle y=x$ 대칭이므로 원의 중심 $\displaystyle (x_n,y_n)$은 $\displaystyle y=x$ 위의 점 $\displaystyle (x_n,x_n)$으로 주어진다. 구하는 원 $\displaystyle C_n$의 반지름 $\displaystyle r_n$은 직선 $\displaystyle y=\frac{1+\tan\theta}{1-\tan\theta}x$ 와 $\displaystyle (x_n,x_n)$의 거리이므로$\displaystyle r_n=\frac{\left|\frac{1+\tan\theta}{1-\tan\theta}x_n-x_n\right|}{\sqrt{\left(\frac{1+\tan\theta}{1-\tan\theta}\right)^2+1}}=\left(\frac{2\tan\theta}{\sqrt2\sec\theta}\right)x_n=\sqrt2\sin\theta\,x_n$ 이다.따라서 중심의 좌표는 $\displaystyle (x_n,y_n)=\left(\frac1{\sqrt2\sin\theta}r_n,\frac1{\sqrt2\sin\theta}r_n\right)$이다.

(2) 두 원 $\displaystyle C_n,C_{n+1}$의 중심점 사이의 거리는 두 원의 반지름의 합과 같으므로 다음 식을 얻는다.$\displaystyle r_n+r_{n+1}=\sqrt2(x_n-x_{n+1})=\frac1{\sin\theta}(r_n-r_{n+1})$따라서 구하는 반지름의 비율 $\displaystyle \frac{r_{n+1}}{r_n}=\frac{1-\sin\theta}{1+\sin\theta}$ 이다.

(3) 원 $\displaystyle C_n$의 둘레는 $\displaystyle 2\pi r_n$ 이므로 주어진 문제는 공비가 $\displaystyle \frac{r_{n+1}}{r_n}=\frac{1-\sin\theta}{1+\sin\theta}$(=상수) 로 주어진 무한등비급수이다. 이때, 주어진 $\displaystyle 0<\theta<\frac\pi4$ 에 대하여 반지름의 비율 $\displaystyle \frac{r_{n+1}}{r_n}=\frac{1-\sin\theta}{1+\sin\theta}$이 구간 $\displaystyle \left(\frac{\sqrt2-1}{\sqrt2+1},1\right)$에 속하므로 무한등비급수는 수렴하며 값은$\displaystyle \frac{2\pi r_1}{1-\frac{r_{n+1}}{r_n}}=\frac{2\pi r_1}{1-\frac{1-\sin\theta}{1+\sin\theta}}=2015\pi\left(\frac{1+\sin\theta}{\sin\theta}\right)$ 이다.