자연계열 II 1번

(1) 포물선 밖의 점 $\displaystyle P$를 $\displaystyle (X,Y)$라고 할 때, 점 $\displaystyle P$를 지나는 기울기 $\displaystyle m$인 직선의 방정식은 $\displaystyle y=m(x-X)+Y$로 쓸 수 있다. 이때 기울기 $\displaystyle m$으로 주어진 포물선의 접선의 방정식은 $\displaystyle y=mx-\frac{m^2}{4a}$으로 구해지므로 $\displaystyle Y=mX-\frac{m^2}{4a}$이다. 이제 $\displaystyle m$에 관하여 정리하면 $\displaystyle \frac1{4a}m^2-Xm+Y=0$ 로 주어지며, 두 접선이 수직하므로 이차방정식의 근과 계수의 관계에 의해 $\displaystyle 4aY=-1\ (a\ne0)$이다. 수직한 두 접선을 가지는 포물선 밖의 점들의 자취는 직선의 방정식 $\displaystyle Y=-\frac1{4a}\ (a\ne0)$을 만족한다.

(2) 타원 밖의 점 $\displaystyle P$를 $\displaystyle (X,Y)$라고 할 때, 점 $\displaystyle P$를 지나는 기울기 $\displaystyle m$인 직선의 방정식은 $\displaystyle y=m(x-X)+Y$로 쓸 수 있다. 이때 기울기 $\displaystyle m$으로 주어진 타원의 접선의 방정식은 $\displaystyle y=mx\pm\sqrt{a^2m^2+b^2}$으로 구해지므로 $\displaystyle -mX+Y=\pm\sqrt{a^2m^2+b^2}$이다. 양변을 제곱하여 $\displaystyle m$에 관하여 정리하면 $\displaystyle (X^2-a^2)m^2-2XYm+(Y^2-b^2)=0$ 으로 주어지며, 두 접선이 수직하므로 이차방정식의 근과 계수의 관계에 의해 $\displaystyle \frac{Y^2-b^2}{X^2-a^2}=-1\ (X\ne\pm a)$이다. 따라서 네 점 $\displaystyle (\pm a,\pm b)$을 제외한 원 $\displaystyle X^2+Y^2=a^2+b^2$위의 점 $\displaystyle P$에서 서로 수직한 두 접선을 그을 수 있다. 이때 네 점 $\displaystyle (\pm a,\pm b)$에서도 수직한 두 접선을 그을 수 있으므로, 수직한 두 접선을 가지는 타원 밖의 점들의 자취는 원의 방정식 $\displaystyle X^2+Y^2=a^2+b^2$을 만족한다.

(3) 쌍곡선 밖의 점 $\displaystyle P$를 $\displaystyle (X,Y)$라고 할 때, 점 $\displaystyle P$를 지나는 기울기 $\displaystyle m$인 직선의 방정식은 $\displaystyle y=m(x-X)+Y$로 쓸 수 있다. 이때 기울기 $\displaystyle m$으로 주어진 쌍곡선의 접선의 방정식은 $\displaystyle y=mx\pm\sqrt{a^2m^2-b^2}$으로 구해지므로 $\displaystyle -mX+Y=\pm\sqrt{a^2m^2-b^2}$이다. 양변을 제곱하여 $\displaystyle m$에 관하여 정리하면 $\displaystyle (X^2-a^2)m^2-2XYm+(Y^2+b^2)=0$ 으로 주어지며, 두 접선이 수직하므로 이차방정식의 근과 계수의 관계에 의해 $\displaystyle \frac{Y^2+b^2}{X^2-a^2}=-1\ (X\ne\pm a)$ $\displaystyle \cdots$ (식1)이다. 따라서 수직한 두 접선을 그을 수 있는 쌍곡선 밖의 점 $\displaystyle P$는 $\displaystyle X^2+Y^2=a^2-b^2$ 를 만족한다. 이때 두 직선 $\displaystyle X=\pm a$과 (식1)은 공통의 해를 갖지 않는다.

(i) $\displaystyle a>b>0$인 경우, 쌍곡선의 두 점근선과 원 $\displaystyle X^2+Y^2=a^2-b^2$의 교점인 네 점 $\displaystyle \left(\pm\frac{a\sqrt{a^2-b^2}}{\sqrt{a^2+b^2}},\pm\frac{b\sqrt{a^2-b^2}}{\sqrt{a^2+b^2}}\right)$에서는 수직한 두 접선을 그을 수 없으므로 이들 네 점 을 제외한 원 $\displaystyle X^2+Y^2=a^2-b^2$ 위의 점 $\displaystyle P$에서 서로 수직한 두 접선을 그을 수 있다. 따라서 수직한 두 접선을 가지는 쌍곡선 밖의 점들의 자취는 원의 방정식 $\displaystyle X^2+Y^2=a^2-b^2\ (a>b>0)$을 만족하는 점 중 네 점 $\displaystyle \left(\pm\frac{a\sqrt{a^2-b^2}}{\sqrt{a^2+b^2}},\pm\frac{b\sqrt{a^2-b^2}}{\sqrt{a^2+b^2}}\right)$을 제외한 점들이다.

(ii) $\displaystyle 0<a\le b$ 인 경우, (식1)을 만족하는 경우는 $\displaystyle a=b$이고 $\displaystyle (X,Y)=(0,0)$일 때뿐이다. 하지만 원점 $\displaystyle (0,0)$에서는 쌍곡선에 접선을 그을 수 없다. 따라서 이 경우 수직한 두 접선을 가지는 쌍곡선 밖의 점들의 자취는 공집합이다.