자연계열 I 1번

그림과 같이 $\displaystyle a>b>0$일 때 좌표평면에 원 $\displaystyle x^{2}+y^{2}=a^{2}$과 타원 $\displaystyle \frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1$이 있다. 원점 $\displaystyle \mathrm{O}$를 지나는 직선 $\displaystyle l$이 원 $\displaystyle x^{2}+y^{2}=a^{2}$과 제1사분면에서 만나는 점을 $\displaystyle \mathrm{A}$라 하고, 점 $\displaystyle \mathrm{A}$에서 $\displaystyle x$축에 내린 수선의 발을 $\displaystyle \mathrm{H}$라 하자. 선분 $\displaystyle \mathrm{AH}$가 타원 $\displaystyle \frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1$과 만나는 점을 $\displaystyle \mathrm{B}$라 하고, 점 $\displaystyle \mathrm{B}$를 지나고 $\displaystyle x$축에 평행한 직선이 직선 $\displaystyle l$과 만나는 점을 $\displaystyle \mathrm{C}$라 하자. $\displaystyle \angle\mathrm{AOH}=\theta$라 할 때, 다음 물음에 답하시오. (단, $\displaystyle 0<\theta<\frac{\pi}{2}$) [30점]

(1) 점 $\displaystyle \mathrm{A}$, $\displaystyle \mathrm{B}$, $\displaystyle \mathrm{C}$의 좌표를 $\displaystyle a$, $\displaystyle b$, $\displaystyle \theta$의 식으로 나타내시오.

(2) 삼각형 $\displaystyle \mathrm{ABC}$의 넓이 $\displaystyle S(\theta)$를 구하고, $\displaystyle S(\theta)$의 최댓값을 구하시오.

(3) $\displaystyle \lim_{\theta\to0}\frac{S(\theta)}{\theta}=\frac{1}{4}(a^{2}+b^{2})$일 때, $\displaystyle \frac{a}{b}$의 값을 구하시오.