자연계열 I 2번

(예시답안) $\displaystyle (f\circ f)(|2x|)=\bigl|\bigl||2x|-1\bigr|-1\bigr|=0$ 로 두면 $\displaystyle 2x=0,\pm2$ 이므로 구하는 점들의 좌표는 $\displaystyle (-1,0),(0,0),(1,0)$이다.

(예시답안) 함수 $\displaystyle g(x)=|nx|$의 그래프를 $\displaystyle y$축을 따라 -1만큼 평형이동하고 $\displaystyle x$축 아래의 그래프를 $\displaystyle x$축에 대칭이도록 $\displaystyle x$축 위로 옮기면 함수 $\displaystyle f(|nx|)=\bigl||nx|-1\bigr|$의 그래프를 얻는다. 같은 방법으로 $\displaystyle f(|nx|)=\bigl||nx|-1\bigr|$의 그래프를 $\displaystyle y$축을 따라 $\displaystyle -1$ 만큼 평형이동하고 $\displaystyle x$축 아래의 그래프를 $\displaystyle x$축에 대칭이도록 $\displaystyle x$축 위로 옮기면 함수 $\displaystyle (f\circ f)(|nx|)=\bigl|\bigl||nx|-1\bigr|-1\bigr|$의 그래프를 얻는다. 합성함수 $\displaystyle \underbrace{(f\circ f\circ\cdots\circ f)}_n(|nx|)$의 그래프는 이러한 과정을 함수 $\displaystyle g(x)=|nx|$의 그래프에 $\displaystyle n$번 시행하여 얻어진다.

합성함수 $\displaystyle \underbrace{(f\circ f\circ\cdots\circ f)}_n(|nx|)$의 그래프가 $\displaystyle x$축과 만나는 점들 중 $\displaystyle x$좌표가 가장 작은 값은 $\displaystyle -1$이고 가장 큰 값은 $\displaystyle 1$이다. 그러므로 합성함수의 그래프와 $\displaystyle x$축이 만나는 점들은 $\displaystyle x$축 위의 구간 $\displaystyle [-1,1]$을 $\displaystyle n$개의 같은 길이의 선분으로 나누는 점들이다. 따라서 합성함수 $\displaystyle \underbrace{(f\circ f\circ\cdots\circ f)}_n(|nx|)$와 $\displaystyle x$축이 만나는 점들의 $\displaystyle x$좌표들은 $\displaystyle -1+\left(\frac2n\right)k\ (k=0,1,\cdots n)$로 구해진다. 그러므로 주어진 합성함수와 $\displaystyle x$축과 만나는 점들의 좌표는 $\displaystyle \left(-1+\frac{2k}n,0\right)\ (k=0,1,\cdots n)$이다.

(예시답안) 문제 (2)에서 주어진 합성함수의 그래프와 $\displaystyle x$축으로 둘러싸인 도형은 밑변의 길이가 $\displaystyle \frac2n$이고 높이가 $\displaystyle 1$인 $\displaystyle n$개의 이등변 삼각형임을 알 수 있다.

이 이등변 삼각형의 둘레의 길이는 $\displaystyle \frac2n+2\sqrt{1+\frac1{n^2}}$이므로 구하는 전체 둘레의 길이$\displaystyle l_n=n\left(\frac2n+2\sqrt{1+\frac1{n^2}}\right)=2(1+\sqrt{n^2+1})$이고, 구하는 넓이는 $\displaystyle S_n=n\left(\frac12\cdot\frac2n\cdot1\right)=1$이다.따라서 극한값 $\displaystyle \lim_{n\to\infty}\frac{nS_n}{l_n}=\lim_{n\to\infty}\frac{n\cdot1}{2(1+\sqrt{1+n^2})}=\frac12$이다.