자연계열 II 2번

[문제 2]-(1) : 점 $\displaystyle \mathrm{P}(a,b)$와 영역 $\displaystyle A$의 경계를 나타내는 도형 $\displaystyle |x|+\frac{|y|}2=1$을 먼저 살펴보면, 점 $\displaystyle \mathrm{P}(a,b)$와 도형 위의 점 $\displaystyle (x,y)$의 중점 $\displaystyle (X,Y)$는 $\displaystyle X=\frac{x+a}2,Y=\frac{y+b}2$을 만족한다. 중점 $\displaystyle (X,Y)$가$\displaystyle \left|X-\frac a2\right|+\frac12\left|Y-\frac b2\right|=\left|\frac x2\right|+\frac12\left|\frac y2\right|=\frac12$을 만족하므로 중점의 도형은 대각선 길이가 $\displaystyle 1,2$인 마름모이다. 이 마름모를 $\displaystyle S$라 할 때, 영역 $\displaystyle A$의 내부의 점과 점 $\displaystyle \mathrm{P}(a,b)$의 중점이 $\displaystyle S$의 내부의 점에 대응한다. 따라서 구하는 영역은 마름모 $\displaystyle S$와 내부이며 넓이는 $\displaystyle \frac12\cdot1\cdot2=1$이다.

[문제 2]-(2) : 도형 $\displaystyle B_r$의 점 $\displaystyle (x,y)$와 원점 $\displaystyle \mathrm{O}$의 중점 $\displaystyle (X,Y)$는 관계식 $\displaystyle X=\frac x2,Y=\frac y2$을 성립하므로 구하는 도형은 $\displaystyle |X|+\frac12|Y|=\left|\frac x2\right|+\frac12\left|\frac y2\right|=\frac r2$ 만족한다. 이 도형은 변의 길이가 $\displaystyle \frac{\sqrt5r}2$인 마름모이므로 둘레의 길이는 $\displaystyle 2\sqrt5r$이다.

[문제 2]-(3) : (2)에 따라 도형 $\displaystyle B_r$와 영역 $\displaystyle A$의 대칭의 중심인 원점 $\displaystyle \mathrm{O}$를 연결한 중점이 그리는 도형은 $\displaystyle |x|+\frac{|y|}2=\frac r2$로 주어진다. (1)에 따라 도형 $\displaystyle B_r$의 한 점 $\displaystyle (a,b)$와 영역 $\displaystyle A$의 중점의 집합은 영역 $\displaystyle \left|x-\frac a2\right|+\frac12\left|y-\frac b2\right|\le\frac12$이다. 여기서 점 $\displaystyle \left(\frac a2,\frac b2\right)$는 점 $\displaystyle (a,b)$와 영역 $\displaystyle A$의 대칭점인 원점 $\displaystyle \mathrm{O}$를 연결한 중점이며 도형 $\displaystyle |x|+\frac{|y|}2=\frac r2$ 위에 있다. 따라서 문제의 영역은 원점 $\displaystyle \mathrm{O}$를 대칭점으로 하는 영역 $\displaystyle |x|+\frac{|y|}2\le\frac12$을 도형 $\displaystyle |x|+\frac{|y|}2=\frac r2$을 따라서 평행 이동하여 그리는 영역이다. $\displaystyle 1<r$일 때 구하는 영역은 $\displaystyle \frac{r-1}2\le|x|+\frac{|y|}2\le\frac{r+1}2$이므로$\displaystyle f(r)=\frac12\cdot2(r+1)\cdot(r+1)-\frac12\cdot2(r-1)\cdot(r-1)=4r$이다. 또한 $\displaystyle 0<r\le1$일 때 구하는 영역은 $\displaystyle |x|+\frac{|y|}2\le\frac{r+1}2$이므로 $\displaystyle f(r)=(r+1)^2$이다. 따라서 양의 실수 $\displaystyle r$에 대하여 주어진 함수 $\displaystyle f(r)$은$\displaystyle f(r)=\begin{cases}4r&1<r\\(r+1)^2&0<r\le1\end{cases}$이다.

$\displaystyle r=1$에서 $\displaystyle f(r)$의 미분가능성을 조사하기 위하여 연속성과 미분계수를 계산한다.(i) $\displaystyle f(1)=4$이고 $\displaystyle r=1$에서 $\displaystyle f(r)$의 우극한 $\displaystyle \lim_{r\to1^+}f(r)=\lim_{r\to1^+}4r=4$과 좌극한 $\displaystyle \lim_{r\to1^-}f(r)=\lim_{r\to1^-}(r+1)^2=4$이 같으므로 함수 $\displaystyle f(r)$은 $\displaystyle r=1$에서 연속이다.(ii) $\displaystyle r=1$에서 우미분계수는$\displaystyle \lim_{h\to0^+}\frac{f(1+h)-f(1)}h=\lim_{h\to0^+}\frac{4(1+h)-4}h=4$이고 좌미분계수가$\displaystyle \lim_{h\to0^-}\frac{f(1+h)-f(1)}h=\lim_{h\to0^-}\frac{(2+h)^2-4}h=4$이므로 좌미분계수와 우미분계수가 같다. 따라서 함수 $\displaystyle f(r)$은 $\displaystyle r=1$에서 미분가능하다.