자연계열 II 3번

함수 $\displaystyle f(x)$가 연속함수이므로 임의의 유계인 닫힌 구간에서 항상 적분가능하다.

[문제 3]-(1) : $\displaystyle F(t)$가 기함수임을 보이려면 임의의 실수 $\displaystyle t$에 대하여 $\displaystyle F(t)=-F(-t)$가 성립함을 보이면 된다. 정적분의 적분 구간 성질 또는 치환적분에 의해$\displaystyle -F(-t)=-\int_0^{-t}f(x)\,dx=\int_{-t}^0 f(x)\,dx=\int_0^t f(-x)\,dx$이 성립하고, $\displaystyle f(x)$가 우함수이므로 $\displaystyle f(x)=f(-x)$ 성질에 의하여 임의의 실수 $\displaystyle t$에 대하여$\displaystyle -F(-t)=-\int_0^{-t}f(x)\,dx=\int_{-t}^0 f(x)\,dx=\int_0^t f(-x)\,dx=\int_0^t f(x)\,dx=F(t)$이다. 그러므로 $\displaystyle F(t)$는 기함수이다.

[문제 3]-(2) : $\displaystyle F(t)$가 우함수임을 보이려면 임의의 실수 $\displaystyle t$에 대하여 $\displaystyle F(t)=F(-t)$가 성립함을 보이면 된다. 정적분의 적분 구간 성질에 의해$\displaystyle F(t)-F(-t)=\int_a^t f(x)\,dx-\int_a^{-t}f(x)\,dx=\int_a^t f(x)\,dx+\int_{-t}^a f(x)\,dx=\int_{-t}^t f(x)\,dx$으로 표현된다. 함수 $\displaystyle f(x)$가 기함수이므로 원점에 대하여 대칭인 성질에 의하여$\displaystyle \int_{-t}^t f(x)\,dx=0$이 성립한다. 따라서 임의의 실수 $\displaystyle t$에 대하여 $\displaystyle F(t)=F(-t)$가 성립하고 $\displaystyle F(t)$는 우함수이다.

[문제 3]-(3) : $\displaystyle F(t)$가 주기가 $\displaystyle p$인 주기함수임을 보이려면 $\displaystyle F(t+p)=F(t)$임을 보이면 된다. 그리고 임의의 실수 $\displaystyle t$에 대하여 위의 등식을 적분으로 나타내어 보면$\displaystyle F(t+p)=\int_a^{t+p}f(x)\,dx=\int_a^t f(x)\,dx+\int_t^{t+p}f(x)\,dx=F(t)+\int_t^{t+p}f(x)\,dx$이 성립함으로 실제로는 $\displaystyle \int_t^{t+p}f(x)\,dx=0$을 보이면 충분하다.

함수 $\displaystyle f(x)$가 주기가 $\displaystyle p$인 주기함수이고 닫힌구간 $\displaystyle [t,t+p]$의 길이가 $\displaystyle p$이므로 주기함수의 적분 성질에 의해$\displaystyle \int_t^{t+p}f(x)\,dx=\int_0^p f(x)\,dx=\int_{-\frac p2}^{\frac p2}f(x)\,dx$이 성립한다. 그리고 함수 $\displaystyle f(x)$가 기함수임으로 원점에 대한 대칭 성질에 의하여$\displaystyle \int_{-\frac p2}^{\frac p2}f(x)\,dx=0$이다. 따라서 임의의 실수 $\displaystyle t$에 대하여 $\displaystyle \int_t^{t+p}f(x)\,dx=0$이 성립하고 $\displaystyle F(t)$는 주기가 $\displaystyle p$인 주기함수이다.

[문제 3]-(4) : $\displaystyle f(x)=0$가 성립하는 $\displaystyle x$가 구간 $\displaystyle [a,b]$에 존재하지 않는다고 가정하자. 그러면 $\displaystyle f(x)$가 연속함수이므로 중간값 정리에 의해 모든 $\displaystyle x\in[a,b]$에 대하여 $\displaystyle 0<f(x)$가 성립하거나 $\displaystyle f(x)<0$가 성립한다. 편의상 $\displaystyle 0<f(x)$가 성립한다고 하자. 그러면 최대 최소 정리에 의해 모든 $\displaystyle x\in[a,b]$에 대하여 $\displaystyle 0<m\le f(x)$을 만족하는 실수 $\displaystyle m$이 존재한다. 그리고 구간 $\displaystyle [a,b]$에서 $\displaystyle 0\le x^{2016}$이므로$\displaystyle \int_a^b f(x)x^{2016}\,dx\ge\int_a^b mx^{2016}\,dx=m\int_a^b x^{2016}\,dx$가 성립한다. 한편 $\displaystyle a<b$조건에 의해 $\displaystyle \int_a^b x^{2016}\,dx>0$이므로$\displaystyle \int_a^b f(x)x^{2016}\,dx\ge m\int_a^b x^{2016}\,dx\ne0$이어서 $\displaystyle \int_a^b f(x)x^{2016}\,dx=0$ 조건과 모순이다. 따라서 $\displaystyle f(x)=0$가 성립하는 $\displaystyle x$가 구간 $\displaystyle [a,b]$에 존재하지 않는다는 가정은 거짓이고, $\displaystyle f(x)=0$가 성립하는 $\displaystyle x$가 구간 $\displaystyle [a,b]$에 적어도 하나 있어야 한다.