자연계열 I 3번

[풀이]이차함수이므로 $\displaystyle a\ne0$이다.

$\displaystyle f(0)=c,f(1)=a+b+c$이므로 $\displaystyle c$는 정수이고

$\displaystyle a+b$도 정수이다.

$\displaystyle f(2)=4a+2b+c=2a+2(a+b)+c$이므로 $\displaystyle 2a$가 정수이다.따라서 구하는 조건은 $\displaystyle 2a$가 0이 아닌 정수이고 $\displaystyle a+b$와 $\displaystyle c$가 정수이다.

[풀이](1)의 풀이를 통해 $\displaystyle c$가 정수이고 실수 $\displaystyle 2a,a+b$ 가 정수라고 하면$\displaystyle f(n)=an^2+bn+c=an(n-1)+(a+b)n+c$로 쓸 수 있다.

여기서 연속한 두 정수의 곱 $\displaystyle n(n-1)$은 짝수이므로 $\displaystyle an(n-1)$이 정수이다.

조건에 따라 $\displaystyle a+b$와 $\displaystyle c$가 정수이므로 $\displaystyle f(n)$이 정수이다.그러므로 $\displaystyle f(x)$가 3 이상인 모든 자연수 $\displaystyle n$에 대하여 $\displaystyle f(n)$이 정수이다.

[풀이]음의 정수 $\displaystyle m$에 대하여$\displaystyle \begin{aligned}f(m)&=am^2+bm+c\\&=a(-m)^2+b(-m)+c+2bm\\&=f(-m)+2bm\end{aligned}$로 쓸 수 있다.

$\displaystyle 2a,a+b$ 가 정수인 조건에 따라 $\displaystyle 2b$가 정수이며

양의 정수 $\displaystyle -m$에 대하여 $\displaystyle f(-m)$도 정수이므로 $\displaystyle f(-m)+2bm$ 도 정수이다.

[풀이]구하는 순서쌍 $\displaystyle (a,b)$는 $\displaystyle 1\le i,j\le10$ ($\displaystyle i,j$는 자연수)일 때, $\displaystyle (i,0),(i,j),\left(i-\frac12,j-\frac12\right)$이다.

따라서 구하는 순서쌍의 개수는 $\displaystyle 2\times10^2+10=210$ 이다.