자연계열 II 1번

[풀이]오른쪽 그림과 같이 $\displaystyle (x,y)$를 직사각형의 우측 상단의 꼭지점이라 하면, 직사각형의 넓이 $\displaystyle A(x)$는 다음과 같다:

$\displaystyle A(x)=2x\cdot2\sqrt{1-x^2}=4x\sqrt{1-x^2}=4\sqrt{x^2(1-x^2)}$ $\displaystyle (x\ge0)$

한편, $\displaystyle x^2(1-x^2)$은 $\displaystyle x^2=\frac12$일 때 최댓값을 가지므로

직사각형의 넓이의 최댓값은$\displaystyle A\left(\frac1{\sqrt2}\right)=\frac2{\sqrt2}\cdot2\sqrt{1-\left(\frac1{\sqrt2}\right)^2}=2$이고, 넓이가 최대가 되는 직사각형은 한 변의 길이가 $\displaystyle \sqrt2$인 정사각형이다.

[풀이]$\displaystyle \frac1{\sqrt2}<\frac34$이므로 오른쪽 그림과 같이 (1)에서 구한 한 변이 $\displaystyle \sqrt2$인 정사각형이 도형 $\displaystyle S$의 내부에 속한 직사각형이다.

도형 $\displaystyle S$의 내부에 있는 직사각형은 원의 내부에 있는 직사각형이 된다. 한 변이 $\displaystyle \sqrt2$인 정사각형의 넓이가 원의 내부에 있는 모든 직사각형의 넓이보다 크므로 도형 $\displaystyle S$의 내부에 있는 모든 직사각형의 넓이보다 크다.

한 변이 $\displaystyle \sqrt2$인 정사각형이 도형 $\displaystyle S$의 내부에 존재하므로 $\displaystyle S$의 내부에 있는 직사각형의 넓이의 최댓값은 $\displaystyle 2$이다.

(i) $\displaystyle 0\le y<\sqrt{1-\left(-\frac1{\sqrt6}\right)^2}=\frac{\sqrt{30}}6$인 경우,

직사각형의 넓이 $\displaystyle A(y)$는 다음과 같다:$\displaystyle A(y)=2y(\sqrt{1-y^2}-h)=2y\left(\sqrt{1-y^2}+\frac1{\sqrt6}\right)$

한편,$\displaystyle \begin{aligned}A^{\prime}(y)&=2\left(\sqrt{1-y^2}+\frac1{\sqrt6}-\frac{y^2}{\sqrt{1-y^2}}\right)\\&=2\left(\frac{1-2y^2}{\sqrt{1-y^2}}+\frac1{\sqrt6}\right)\end{aligned}$이다. 구간 $\displaystyle 0\le y\le\frac1{\sqrt2}$에서 $\displaystyle 1-2y^2\ge0$이므로 $\displaystyle A^{\prime}(y)>0$.따라서 넓이 $\displaystyle A(y)$는 증가이다.구간 $\displaystyle \frac1{\sqrt2}<y<\frac{\sqrt{30}}6$에서 $\displaystyle A^{\prime}(y)=0$인 점 $\displaystyle y$는 $\displaystyle \sqrt6(2y^2-1)=\sqrt{1-y^2}$을 만족한다.따라서 $\displaystyle 24y^4-23y^2+5=0$의 근이 된다. 즉 $\displaystyle y^2=\frac{23\pm\sqrt{529-480}}{48}=\frac58,\frac13$이므로구간 $\displaystyle \frac1{\sqrt2}<y<\frac{\sqrt{30}}6$에 포함되는 경우는 $\displaystyle y=\frac{\sqrt{10}}4$이다.$\displaystyle y=\frac{\sqrt{10}}4$의 전후에서 $\displaystyle A^{\prime}(y)$가 양수에서 음수로 바뀌므로 $\displaystyle y=\frac{\sqrt{10}}4$이 극대점이다.따라서 구간 $\displaystyle 0\le y<\frac{\sqrt{30}}6$에서$\displaystyle A(y)\le A\left(\frac{\sqrt{10}}4\right)=2\cdot\frac{\sqrt{10}}4\left(\sqrt{1-\left(\frac{\sqrt{10}}4\right)^2}+\frac1{\sqrt6}\right)=\frac{5\sqrt{15}}{12}$이다.

(ii) $\displaystyle \frac{\sqrt{30}}6\le y\le1$인 경우, 직사각형의 넓이 $\displaystyle A(y)$는 다음과 같다:$\displaystyle A(y)=2y\cdot2\sqrt{1-y^2}=4y\sqrt{1-y^2}=4\sqrt{y^2(1-y^2)}$

한편, $\displaystyle y^2(1-y^2)$은 주어진 구간 내에서 감소함수이므로, $\displaystyle A(y)\le A\left(\frac{\sqrt{30}}6\right)$이다.

(i), (ii)의 경우를 모두 적용하면 직사각형의 넓이 $\displaystyle A(y)$의 최댓값은 $\displaystyle \frac{5\sqrt{15}}{12}$이다.