자연계열 I 3번

[풀이]좌표평면의 한 점 $\displaystyle \mathrm{P}(a,b)$와 집합 $\displaystyle B$의 임의의 한 점 $\displaystyle \mathrm{Q}(3\cos\theta+6,3\sin\theta)$를 이은 선분 $\displaystyle \mathrm{PQ}$를 $\displaystyle 1:2$로 내분하는 점 $\displaystyle (x,y)$를 구하면$\displaystyle (x,y)=\left(\frac{2a+(3\cos\theta+6)}3,\frac{2b+3\sin\theta}3\right)$이다.

삼각함수에 대한 식으로 쓰면$\displaystyle (\cos\theta,\sin\theta)=\left(x-\frac{2a+6}3,y-\frac{2b}3\right)$이고$\displaystyle \left(x-\frac{2a+6}3\right)^2+\left(y-\frac{2b}3\right)^2=\cos^2\theta+\sin^2\theta=1$

이므로 중심이 $\displaystyle \left(\frac{2a}3+2,\frac{2b}3\right)$이고 반지름의 길이가 $\displaystyle 1$인 원을 나타낸다.

[풀이]점 $\displaystyle \mathrm{P}(-3,t)$와 점 $\displaystyle \mathrm{C}(6,0)$을 이은 선분 $\displaystyle \mathrm{PC}$를 $\displaystyle 1:2$로 내분하는 점을 구하면$\displaystyle \left(\frac{2\cdot(-3)+1\cdot6}3,\frac{2\cdot t+1\cdot0}3\right)=\left(0,\frac{2t}3\right)$이다.

따라서 구하는 집합은$\displaystyle \left\{\left(0,\frac23t\right)\mid-3\le t\le3\right\}$이다.

[풀이]집합 $\displaystyle A$의 한 점 $\displaystyle (-3,t)$를 정하고 집합 $\displaystyle B$의 임의의 점과 이루는 선분을 $\displaystyle 1:2$로 내분하는 점으로 구성된 집합을 $\displaystyle S$라 하면 집합 $\displaystyle S$는 문항 (1)에 따라 중심이 $\displaystyle \left(0,\frac23t\right)$이고 반지름의 길이가 $\displaystyle 1$인 원을 $\displaystyle t$에 의해 모은 영역으로 나타난다. 범위 $\displaystyle -3\le t\le3$에서 중심이 $\displaystyle \left(0,\frac23t\right)$인 원을 살펴보면 집합 $\displaystyle S$의 영역은 아래와 같이 나타난다.

집합 $\displaystyle S$가 나타내는 영역은 반지름의 길이가 $\displaystyle 1$인 반원 $\displaystyle 2$개와 변의 길이가 $\displaystyle 4,2$인 직사각형으로 나누어지므로 집합 $\displaystyle S$가 나타내는 영역의 넓이는 $\displaystyle 1^2\pi+4\cdot2=\pi+8$이다.