자연계열 I 2번

[풀이]등식 $\displaystyle f(a+f(b))=f(a)+b$에 $\displaystyle a=0$을 대입하면 모든 실수 $\displaystyle b$에 대하여 다음 등식이 성립한다.$\displaystyle f(f(b))=f(0)+b$이 등식에 $\displaystyle b=0$을 대입하면 $\displaystyle f(f(0))=f(0)$을 얻는다. $\displaystyle f$가 일대일대응이므로 만약 $\displaystyle f(0)\ne0$이라면 $\displaystyle f(f(0))\ne f(0)$이 되어 모순이다. 따라서 $\displaystyle f(0)=0$이다.

이제 $\displaystyle f(0)=0$이므로 모든 실수 $\displaystyle b$에 대하여 등식$\displaystyle f(f(b))=f(0)+b=b$가 성립함을 알 수 있다.

[풀이]임의의 실수 $\displaystyle a$에 대하여 등식$\displaystyle \lim_{h\to0}f(a+h)=f(a)$가 성립하면 함수 $\displaystyle f(x)$가 $\displaystyle x=a$에서 연속이다.

위에서 얻은 등식을 활용하면, 임의의 실수 $\displaystyle a$에 대하여$\displaystyle \lim_{h\to0}f(a+h)=\lim_{h\to0}\{f(a)+f(h)\}=f(a)+\lim_{h\to0}f(h)$이다. $\displaystyle f(x)$가 $\displaystyle x=0$에서 연속이므로 $\displaystyle \lim_{h\to0}f(h)=f(0)=0$이다. 따라서$\displaystyle \lim_{h\to0}f(a+h)=f(a)$이므로 함수 $\displaystyle f(x)$가 임의의 실수 $\displaystyle x=a$에서 연속이다.

[풀이]임의의 실수 $\displaystyle a$에 대하여 극한$\displaystyle \lim_{h\to0}\frac{f(a+h)-f(a)}h$가 존재하면 $\displaystyle f(x)$가 $\displaystyle x=a$에서 미분가능하다.

문항 (2)의 풀이에서 $\displaystyle f(a+h)=f(a)+f(h)$와 $\displaystyle f(0)=0$을 활용하면, $\displaystyle f(x)$가 $\displaystyle x=0$에서 미분가능하므로$\displaystyle \begin{aligned}\lim_{h\to0}\frac{f(a+h)-f(a)}h&=\lim_{h\to0}\frac{f(a)+f(h)-f(a)}h\\&=\lim_{h\to0}\frac{f(h)}h=\lim_{h\to0}\frac{f(0+h)-f(0)}h=f^{\prime}(0)\end{aligned}$이다. 따라서 $\displaystyle f(x)$가 $\displaystyle x=a$에서 미분가능하고 $\displaystyle f^{\prime}(a)=f^{\prime}(0)$이다.

$\displaystyle f^{\prime}(0)$을 $\displaystyle k$라고 두고 도함수 $\displaystyle f^{\prime}(x)=k$를 적분하면 $\displaystyle f(0)=0$이므로$\displaystyle f(x)=kx$이다. 이 식을 등식 $\displaystyle f(a+f(b))=f(a)+b$에 대입하면$\displaystyle ka+k^2b=ka+b$이므로 $\displaystyle k^2=1$이다. 즉 $\displaystyle k=1$ 또는 $\displaystyle k=-1$.따라서 $\displaystyle f(x)=x$ 또는 $\displaystyle f(x)=-x$이다.