자연계열 1번

<가> 좌표평면에서 일차변환 $\displaystyle f : \left( x , y \right) \to \left( x^{\prime} , y^{\prime} \right)$을 나타내는 행렬을 $\displaystyle A = {\begin{pmatrix}a & b \\ c & d\end{pmatrix}}$라고 하면, 이 일차변환을$\displaystyle f \left( X \right) = A X$ 또는 $\displaystyle Y = A X$로 나타낼 수 있다. 이때, $\displaystyle X = {\begin{pmatrix}x \\ y\end{pmatrix}}$, $\displaystyle Y = {\begin{pmatrix}x^{\prime} \\ y^{\prime}\end{pmatrix}}$이다.

<나> $\displaystyle x$, $\displaystyle y$에 관한 연립일차방정식 $\displaystyle {\begin{cases}a x + b y & = p \\ c x + d y & = q\end{cases}}$를 행렬을 이용하여 나타내면 $\displaystyle {\begin{pmatrix}a & b \\ c & d\end{pmatrix}} {\begin{pmatrix}x \\ y\end{pmatrix}} = {\begin{pmatrix}p \\ q\end{pmatrix}}$ 이고, $\displaystyle a d - b c \ne 0$일 때, 이 연립일차방정식은 오직 한 쌍의 해를 갖는다.

<다> $\displaystyle u_{1} v_{2} - u_{2} v_{1} \ne 0$을 만족하는 어떤 $\displaystyle 2 \times 1$행렬 $\displaystyle U = {\begin{pmatrix}u_{1} \\ u_{2}\end{pmatrix}}$, $\displaystyle V = {\begin{pmatrix}v_{1} \\ v_{2}\end{pmatrix}}$에 대하여, 어떤 일차변환 $\displaystyle f$를 다음과 같이 정의한다.$\displaystyle f \left( h U + k V \right) = \left( 2 h + 2 k \right) U + \left( - 2 h - 3 k \right) V$ (단, $\displaystyle h , k$는 임의의 실수)