자연계열 2번

<가> 실수 집합 위에 정의된 미분 가능한 함수 $\displaystyle g ( x )$와 $\displaystyle h ( x )$의 합성함수 $\displaystyle \left( g \circ h \right) ( x )$의 미분과 두 함수의 곱 $\displaystyle g ( x ) h ( x )$의 미분은 각각$\displaystyle \frac{{d}}{d x} \left( g \circ h \right) \left( x \right) = \frac{{d h ( x )}}{d x} \frac{{d g ( h ( x ) )}}{d h ( x )} = h^{\prime} ( x ) g^{\prime} ( h ( x ) )$$\displaystyle \frac{{d}}{d x} \left( g ( x ) h \left( x \right) \right) = \frac{{d g ( x )}}{d x} h ( x ) + g ( x ) \frac{{d h ( x )}}{d x}$이다.

<나> 미분 가능하고 역함수가 존재하는 함수 $\displaystyle f$에 대해 자신과 역함수와의 곱으로 정의된 함수를 $\displaystyle G ( x ) = f ( x ) f^{- 1} ( x )$라 하고, $\displaystyle f$의 $\displaystyle n$번 합성함수를 $\displaystyle f^{n}(x)=\underbrace{(f\circ f\circ\cdots\circ f)}_{n}(x)$ 라 하자. 여기서 $\displaystyle f^{0} ( x ) = x$ (항등함수)로 정의한다.

<다> 실수 $\displaystyle x > 10$에 대하여 다음 관계식이 성립한다.$\displaystyle e^{\frac{{x}}{2}} > x > \ln x$