자연계열 3번

[문제 3] 다음 제시문 <가>~<다>를 읽고 물음에 답하시오.

3-1. 함수 $\displaystyle f ( x )$가 $\displaystyle x = a$에서 미분가능하고, $\displaystyle f ( a ) = \frac{{f^{\prime} ( a )}}{2}$, $\displaystyle f ( a ) > 0$ 일 때, 제시문 <가>를 이용하여 $\displaystyle \lim_{n\to\infty}\left\{\frac{f\left(a+\frac1n\right)}{f(a)}\right\}^{n}$의 값을 구하여라. [10점]

3-2. $\displaystyle n$은 자연수이고 $\displaystyle P_{n} = \sqrt[n]{( n + 1 ) ( n + 2 ) \cdots ( n + n )}$라 하자. 제시문 <가>와 <나>를 이용하여 $\displaystyle \lim_{n\to\infty} {\frac{P_{n}}{n}}$의 값을 구하여라. [15점]

3-3. 자연수 $\displaystyle n$과 양수 실수 $\displaystyle x$에 대하여 $\displaystyle g_{n} ( x ) = {\frac{{1}}{n} \sqrt[n]{( n + x ) ( n + 2 x ) ( n + 3 x ) \cdots ( n + n x )}}$라 하면 $\displaystyle g_{n} ( 1 ) = \frac{{P_{n}}}{n}$이다.$\displaystyle f ( x ) = \lim_{n \to \infty} {\left\{ g_{n} ( x ) \right\}^{x}}$로 주어졌을 때, 제시문 <가> ~ <다>를 이용하여 $\displaystyle f^{\prime} ( 1 )$의 값을 구하여라. [15점]