상경계열 3번

<가>논리의 오류란 연역법이나 귀납법 등의 추론이나 그 밖의 합리화 과정에서 생기는 잘못을 말한다. 이는 잘못된 근거 자료의 사용으로 발생하거나, 논리적 추론 과정에서 나타나는 불합리성, 논리적 비약 등으로 발생한다. 이러한 오류가 생기는 이유는 대개 논리적 사고 훈련이 부족하거나 개인적인 부주의 때문이다. 오류의 종류에는 잘못된 유추의 오류, 원칙 혼동의 오류, 성급한 일반화의 오류, 잘못된 인과관계에 의한 오류, 합성⋅분할의 오류, 범주의 오류 등이 있다.

<나>상용로그 $\displaystyle \log x$의 지표와 가수를 조사하여 양수 $\displaystyle x$의 여러 가지 성질을 알 수 있다. 예를 들어 $\displaystyle \log x$의 지표가 $\displaystyle 3$이고 가수 $\displaystyle \alpha$가 $\displaystyle \log 2 \leq \alpha < \log 3$을 만족하면 $\displaystyle x$는 네 자리의 수이고 $\displaystyle x$의 가장 큰 자리의 숫자는 $\displaystyle 2$이다.

<다>자연수 $\displaystyle n$에 대하여 $\displaystyle 2^{n}$을 십진법으로 표시했을 때 가장 큰 자리의 숫자를 $\displaystyle h \left( n \right)$이라고 하자. 즉, $\displaystyle h \left( 1 \right) = 2 , h \left( 2 \right) = 4 , h \left( 3 \right) = 8 , h \left( 4 \right) = 1 , h \left( 5 \right) = 3 , h \left( 6 \right) = 6$이다. 그런데 함수 $\displaystyle h$의 값을 조사해 보면, $\displaystyle n \leq 10$일 때 $\displaystyle h \left( n \right) = 7$과 $\displaystyle h \left( n \right) = 8$을 만족하는 $\displaystyle n$의 개수는 각각 $\displaystyle 0$개와 $\displaystyle 1$개임을 알 수 있다. 또한 $\displaystyle n \leq 50$일 때, $\displaystyle h \left( n \right)= 7$과 $\displaystyle h \left( n \right) = 8$을 만족하는 $\displaystyle n$의 개수는 각각 $\displaystyle 1$개와 $\displaystyle 5$개이다.

<라>주어진 무리수 $\displaystyle \beta$에 대하여 $\displaystyle f(n)=\beta n$ (단, $\displaystyle n$은 자연수)이라 정의하면, 확률변수 $\displaystyle X=f(n)-[f(n)]$은 $\displaystyle 0$과 $\displaystyle 1$ 사이에서 균일한 확률을 갖는다는 것이 알려져 있다. (단, $\displaystyle [x]$는 $\displaystyle x$를 넘지 않는 최대의 정수를 뜻한다.) 이 말은 무작위로 주어진 자연수 $\displaystyle n$에 대하여 확률변수 $\displaystyle X$의 값이 $\displaystyle 0$과 $\displaystyle 1$ 사이의 어떤 구간 안에 들어갈 확률은 그 구간의 길이와 비례한다는 것이다. 확률의 총합은 $\displaystyle 1$이 되어야 하므로 확률변수 $\displaystyle X$의 경우, $\displaystyle 0\le\mu<\nu\le1$일 때 $\displaystyle P(\mu\le X<\nu)=\nu-\mu$이 성립한다.

<마>근사적으로$\displaystyle \log 2 = 0.3010 , \log 3 = 0.4771 , \log 4 = 0.6021 , \log 5 = 0.6990 , \log 6 = 0.7782 ,$$\displaystyle \log 7 = 0.8451 , \log 8 = 0.9031 , \log 9 = 0.9542$이다.