자연계열 1번

<가> 고대 그리스 시대의 피타고라스학파는 우주 만물이 수로 이루어져 있다고 믿었다. 그래서 도형을 이용하여 숫자를 표현하고 수와 도형의 관계를 연구하였다. 이렇게 하여 도형으로 묘사된 자연수를 형상수라고 한다. 여러 형상수에는 각각 일정한 규칙이 숨어 있는데 이것을 찾는 과정에서 여러 가지 수학적 사고를 할 수 있다.

삼각수는 다음 그림과 같이 삼각형으로 배열된 점의 개수로 $\displaystyle 1,3,6,10,\cdots$으로 나타난다.

사각수는 다음 그림과 같이 사각형으로 배열된 점의 개수로 $\displaystyle 1,4,9,16,\cdots$으로 나타난다.

오각수는 다음 그림과 같이 오각형으로 배열된 점의 개수로 $\displaystyle 1,5,12,22,\cdots$으로 나타난다.

<나> 용규는 수업 시간에 형상수에 대해 공부한 후 “삼각수이면서 동시에 사각수인 수는 어떤 것들이 있을까?”란 문제를 생각하고 다음과 같은 사실을 알게 되었다. $\displaystyle m$번째 삼각수는 $\displaystyle \frac{m(m+1)}2$이고 $\displaystyle n$번째 사각수는 $\displaystyle n^2$이므로, 이 문제는 $\displaystyle \frac{m(m+1)}2=n^2$인 자연수 $\displaystyle m$과 $\displaystyle n$을 찾는 문제와 같다. 이 등식의 양변에 8을 곱한 후 정리하면 $\displaystyle (2m+1)^2-2(2n)^2=1$이 되므로 이 문제는 쌍곡선의 방정식 $\displaystyle x^2-2y^2=1$을 만족하는 자연수 $\displaystyle x$와 $\displaystyle y$를 찾는 문제로 바뀌게 된다.

<다> 제시문 <나>에 정의된 쌍곡선 위의 자연수 점 $\displaystyle (x,y)=(3,2)$로부터, 무리수 $\displaystyle \sqrt2$를 사용하여 $\displaystyle 3^2-2\cdot2^2=1$을 인수분해하면 $\displaystyle (3+2\sqrt2)(3-2\sqrt2)=1$을 얻는다. 이 식의 양변을 제곱하면, $\displaystyle (17+12\sqrt2)(17-12\sqrt2)=1$을 얻게 되고 이를 전개하여 얻는 쌍곡선 위의 자연수 점 $\displaystyle (x,y)=(17,12)$로부터 8번째 삼각수인 36이 6번째 사각수와 같게 됨을 알 수 있다. 비슷한 방식으로 $\displaystyle (3+2\sqrt2)(3-2\sqrt2)=1$의 양변을 여러 번 거듭제곱하여 위의 방법을 적용하면, 삼각수이면서 동시에 사각수인 수가 무수히 많음을 알 수 있다.