자연계열 1번

대호는 점화식$\displaystyle pa_{n+2}+qa_{n+1}+ra_n=0\quad(p\ne0,n\ge1)\quad\cdots\cdots\text{㉠}$을 만족하는 수열 $\displaystyle \{a_n\}$의 일반항을 구하려고 여러 가지 시도를 하다가, 수열이 등비수열 또는 등비수열들의 합의 형태로 나타난다고 예상을 하였다. 실제 $\displaystyle p+q+r=0$인 경우, 어떤 0이 아닌 $\displaystyle t$에 대해 등비수열 $\displaystyle \{t^n\}$이 점화식 ㉠을 만족한다고 가정하면 $\displaystyle pt^{n+2}+qt^{n+1}+rt^n=0$이므로 $\displaystyle pt^2-(p+r)t+r=0$이 되어$\displaystyle (pt-r)(t-1)=0$을 만족한다. 즉 $\displaystyle t=\frac rp$ 또는 $\displaystyle t=1$이 되어, 등비수열 $\displaystyle \left\{\left(\frac rp\right)^n\right\}$ 또는 $\displaystyle \{1^n\}$이 점화식 ㉠을 만족한다. 뿐만 아니라, 임의의 $\displaystyle c_1,c_2$에 대해 수열$\displaystyle \left\{c_1\left(\frac rp\right)^n+c_2(1)^n\right\}$역시 점화식 ㉠을 만족한다.