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자연계열 2번

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한양대 서울캠퍼스 2012학년도 수시 2차 오전 자연계열 2번 · 해설강의 있음 · mathesis.kr/archive/hanyang_seoul/2012su_2_am/jayeon_2

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문제

[논술 2] 다음 제시문 <가>~<마>를 읽고 물음에 답하시오. (50점)

<가> 함수 y=f(x)\displaystyle y=f(x)가 폐구간 [a,b]\displaystyle [a,b]에서 연속이고 f(x)≥0\displaystyle f(x)\ge0일 때, 두 직선 x=a\displaystyle x=a, x=b\displaystyle x=b와 x\displaystyle x축 및 곡선 y=f(x)\displaystyle y=f(x)로 둘러싸인 영역의 넓이 S\displaystyle S를 구분구적법으로 구하면 다음과 같다.

곡선 y=f(x) 아래를 폭이 Δx인 직사각형들로 채운 구분구적법 그림. x축 위에 x₀=a, x₁, x₂, x₃ … x_{k-1}, x_k … x_n=b가 표시되어 있고, 높이 f(x_k)인 직사각형 하나를 화살표로 짚었다.

S=lim⁡n→∞∑k=1nf(xk)Δx,(Δx=b−an, xk=a+kΔx)\displaystyle S=\lim_{n\to\infty}\sum_{k=1}^{n}f(x_{k})\Delta x,\quad\left(\Delta x=\frac{b-a}{n},\ x_{k}=a+k\Delta x\right)이 극한값 S\displaystyle S를 함수 f(x)\displaystyle f(x)의 a\displaystyle a에서 b\displaystyle b까지의 정적분이라 하고, 기호로 ∫abf(x)dx\displaystyle \int_{a}^{b}f(x)dx와 같이 나타낸다.

<나> n\displaystyle n, m\displaystyle m은 자연수라고 하자. 두 실수 a,b\displaystyle a,b가 n−1<a≤n<m≤b<m+1\displaystyle n-1<a\le n<m\le b<m+1일 때, 구간 [a,b]\displaystyle [a,b]에서 함수 y=[x]\displaystyle y=[x]의 정적분을 다음과 같이 정의한다. (단, [x]\displaystyle [x]는 x\displaystyle x보다 크지 않은 최대의 정수)∫ab[x]dx=∫an(n−1)dx+∑k=n+1m∫k−1k(k−1)dx+∫mbm dx\displaystyle \int_{a}^{b}[x]dx=\int_{a}^{n}(n-1)dx+\sum_{k=n+1}^{m}\int_{k-1}^{k}(k-1)dx+\int_{m}^{b}m\,dx

<다> 감소수열 {an}\displaystyle \{a_{n}\}은 lim⁡n→∞an=a\displaystyle \lim_{n\to\infty}a_{n}=a와 a1≤b\displaystyle a_{1}\le b를 만족한다고 하자. 구간 (a,b]\displaystyle (a,b] 위의 함수 y=f(x)\displaystyle y=f(x)에 대하여 정적분 ∫abf(x)dx\displaystyle \int_{a}^{b}f(x)dx는 극한값 lim⁡n→∞∫anbf(x)dx\displaystyle \lim_{n\to\infty}\int_{a_{n}}^{b}f(x)dx로 정의한다. 즉,Caution. 특정 수열을 따라 함수값이 수렴한다고 해서 함수의 극한이 존재하는 것은 아니다: I(t)=∫tbf(x) dx\displaystyle I(t)=\int_t^b f(x)\,dx라 두면, 제시문 <다>는 특정 감소수열 an→a\displaystyle a_n\to a에 대한 I(an)\displaystyle I(a_n)의 극한으로 적분값을 정의한다. 한 수열에서 적분값이 수렴한다는 사실만으로는 t→a+\displaystyle t\to a+일 때 I(t)\displaystyle I(t)의 극한이 존재한다고 할 수 없으며, 수열을 달리 택해도 같은 값이 나오는지 확인해야 한다. 이 문제의 4번 함수 F(x)=[2x]−2[1x]\displaystyle F(x)=\left[\frac2x\right]-2\left[\frac1x\right]는 0≤F(x)≤1\displaystyle 0\le F(x)\le1이고, 0 부근의 적분값은 그 구간의 길이 이하이므로 이 문제가 생기지 않는다. 원칙에 따라 원문 표기를 그대로 실었다.∫abf(x)dx=lim⁡n→∞∫anbf(x)dx\displaystyle \int_{a}^{b}f(x)dx=\lim_{n\to\infty}\int_{a_{n}}^{b}f(x)dx

<라> 감소수열 {bn}\displaystyle \{b_{n}\}에 대하여 lim⁡n→∞bn=0\displaystyle \lim_{n\to\infty}b_{n}=0이면 무한급수 ∑n=1∞(−1)nbn\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n}b_{n}이 수렴한다.

<마> 다음은 함수 y=2[1x]\displaystyle y=2\left[\dfrac{1}{x}\right]의 그래프 중 일부분이다.

함수 y=2[1/x]의 계단 그래프. x가 1/5, 1/4, 1/3, 1/2, 1인 자리에서 값이 8, 6, 4, 2로 계단처럼 떨어지고, 각 계단의 왼쪽 끝은 빈 점, 오른쪽 끝은 채운 점이다.

1. 자연수 n\displaystyle n에 대하여 등식 ∑k=1n1(2k−1)2k=∑k=1n1n+k\displaystyle \sum_{k=1}^{n}\frac{1}{(2k-1)2k}=\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{n+k}이 성립함을 보이시오.

2. 극한값 lim⁡n→∞∑k=1n1(2k−1)2k\displaystyle \lim_{n\to\infty}\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{(2k-1)2k}을 구하시오.

3. 무한급수 ∑n=1∞(−1)n+11n=1−12+13−14+15−16+⋯\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1}\frac{1}{n}=1-\frac{1}{2}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+\frac{1}{5}-\frac{1}{6}+\cdots의 값을 구하시오.

4. 위 3번의 결과를 이용하여, 극한값 lim⁡n→∞1n∑k=1n([2nk]−2[nk])\displaystyle \lim_{n\to\infty}\frac{1}{n}\sum_{k=1}^{n}\left(\left[\frac{2n}{k}\right]-2\left[\frac{n}{k}\right]\right)을 구하시오.

정적분과 급수

논술 가우스 기호를 포함하는 함수의 정적분

관련 개념강의 준비중

수학적 귀납법

한양대 서울캠퍼스 2012학년도 수시 2차 오전 자연계열 2번 · 해설강의 있음 · mathesis.kr/archive/hanyang_seoul/2012su_2_am/jayeon_2

Advice. 앞뒤 문제를 활용하라: 2번은 1번의 등식, 3번은 2번의 극한값, 4번은 3번의 급수값을 이용한다.

1.

+5점 · 1번: 등식의 증명에 필요한 관계식을 올바르게 설정하였는가?

n=1\displaystyle n=1일 때 양변이 12\displaystyle \frac12이므로 성립한다.n=m\displaystyle n=m일 때 성립한다고 가정하면∑k=1m1(2k−1)2k=∑k=1m1m+k\displaystyle \sum_{k=1}^{m}\frac{1}{(2k-1)2k}=\sum_{k=1}^{m}\frac{1}{m+k}

+8점 · 1번: 합을 정확히 변형하여 양변의 관계를 도출하였는가?

n=m+1\displaystyle n=m+1일 때∑k=1m+11m+1+k=∑k=1m1m+k−1m+1+12m+1+12m+2=∑k=1m1(2k−1)2k+1(2m+1)(2m+2)\displaystyle \begin{aligned}\sum_{k=1}^{m+1}\frac{1}{m+1+k}&=\sum_{k=1}^{m}\frac{1}{m+k}-\frac{1}{m+1}\\&\quad+\frac{1}{2m+1}+\frac{1}{2m+2}\\&=\sum_{k=1}^{m}\frac{1}{(2k-1)2k}\\&\quad+\frac{1}{(2m+1)(2m+2)}\end{aligned}

+2점 · 1번: 모든 자연수 n\displaystyle n에 대하여 주어진 등식이 성립함을 보였는가?

따라서∑k=1m+11m+1+k=∑k=1m+11(2k−1)2k\displaystyle \sum_{k=1}^{m+1}\frac{1}{m+1+k}=\sum_{k=1}^{m+1}\frac{1}{(2k-1)2k}이므로 수학적 귀납법에 의해 모든 자연수 n\displaystyle n에 대하여 성립한다.

2.

+2점 · 2번: 1번의 등식을 이용하여 주어진 합을 변형하였는가?

1번에 의해lim⁡n→∞∑k=1n1(2k−1)2k=lim⁡n→∞∑k=1n1n+k\displaystyle \lim_{n\to\infty}\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{(2k-1)2k}=\lim_{n\to\infty}\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{n+k}

+3점 · 2번: 각 항을 1n11+k/n\displaystyle \frac1n\frac{1}{1+k/n}의 꼴로 표현하였는가?

∑k=1n1n+k=1n∑k=1n11+k/n\displaystyle \sum_{k=1}^{n}\frac{1}{n+k}=\frac1n\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{1+k/n}이고,

+3점 · 2번: 구분구적법을 이용하여 극한을 정적분으로 나타내었는가?

제시문 <가>에 의해lim⁡n→∞1n∑k=1n11+k/n=∫0111+x dx\displaystyle \lim_{n\to\infty}\frac1n\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{1+k/n}=\int_0^1\frac{1}{1+x}\,dx

+2점 · 2번: 정적분을 계산하여 극한값 ln⁡2\displaystyle \ln 2를 구하였는가?

따라서∫0111+x dx=[ln⁡(1+x)]01=ln⁡2\displaystyle \int_0^1\frac{1}{1+x}\,dx=\Biggl[\ln(1+x)\Biggr]_0^1=\ln 2

3.

+3점 · 3번: 연속된 두 항을 묶어 2번의 합과 연결하였는가?

제시문 <라>에 의해 주어진 급수는 수렴하고,∑j=12n(−1)j+1j=∑k=1n(12k−1−12k)=∑k=1n1(2k−1)2k\displaystyle \begin{aligned}\sum_{j=1}^{2n}\frac{(-1)^{j+1}}{j}&=\sum_{k=1}^{n}\left(\frac{1}{2k-1}-\frac{1}{2k}\right)\\&=\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{(2k-1)2k}\end{aligned}

+2점 · 3번: 2번의 결과를 이용하여 급수의 값을 구하였는가?

따라서 2번에 의해∑j=1∞(−1)j+1j=lim⁡n→∞∑k=1n1(2k−1)2k=ln⁡2\displaystyle \begin{aligned}\sum_{j=1}^{\infty}\frac{(-1)^{j+1}}{j}&=\lim_{n\to\infty}\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{(2k-1)2k}\\&=\ln 2\end{aligned}

4.

+4점 · 4번: 주어진 극한을 정적분으로 나타내었는가?

F(x)=[2x]−2[1x]\displaystyle F(x)=\left[\frac2x\right]-2\left[\frac1x\right] (0<x≤1)\displaystyle (0<x\le1)이라 하면 0≤F(x)≤1\displaystyle 0\le F(x)\le1이다.[a,1]\displaystyle [a,1] (0<a<1)\displaystyle (0<a<1)에서는 계단이 유한 개이고, (0,a)\displaystyle (0,a)에 해당하는 합과 넓이는 각각 a\displaystyle a 이하이므로,제시문 <나>, <다>에서 a→0+\displaystyle a\to0+로 보내면lim⁡n→∞1n∑k=1nF(kn)=∫01F(x) dx\displaystyle \lim_{n\to\infty}\frac1n\sum_{k=1}^{n}F\left(\frac{k}{n}\right)=\int_0^1 F(x)\,dx

+4점 · 4번: 두 계단함수의 차가 1인 구간을 구하였는가?

자연수 m\displaystyle m에 대하여F(x)={1(1m+1<x≤22m+1),0(22m+1<x≤1m)\displaystyle F(x)=\begin{cases}1&\left(\frac{1}{m+1}<x\le\frac{2}{2m+1}\right),\\0&\left(\frac{2}{2m+1}<x\le\frac1m\right)\end{cases}이므로, 높이가 1\displaystyle 1인 직사각형들의 넓이를 더하면 된다.

F(x)=[2/x]−2[1/x]의 그래프. 각 자연수 m에 대해 (1/(m+1), 2/(2m+1)]에서 높이 1이고 그 밖에서는 0이다. 높이 1인 부분 아래의 직사각형 넓이를 갈색으로 표시하였다.
+4점 · 4번: 직사각형들의 넓이의 합을 급수로 나타내었는가?

따라서∫01F(x) dx=∑m=1∞(22m+1−1m+1)=∑m=1∞1(m+1)(2m+1)=16+115+128+145+⋯\displaystyle \begin{aligned}\int_0^1 F(x)\,dx&=\sum_{m=1}^{\infty}\left(\frac{2}{2m+1}-\frac{1}{m+1}\right)\\&=\sum_{m=1}^{\infty}\frac{1}{(m+1)(2m+1)}\\&=\frac16+\frac1{15}+\frac1{28}+\frac1{45}+\cdots\end{aligned}

+6점 · 4번: 3번의 결과를 이용하여 급수의 합을 계산하였는가?

3번에 의해∫01F(x) dx=2∑m=1∞(12m+1−12m+2)=2{ln⁡2−(1−12)}\displaystyle \begin{aligned}\int_0^1 F(x)\,dx&=2\sum_{m=1}^{\infty}\left(\frac{1}{2m+1}-\frac{1}{2m+2}\right)\\&=2\left\{\ln 2-\left(1-\frac12\right)\right\}\end{aligned}

+2점 · 4번: 극한값 2ln⁡2−1\displaystyle 2\ln 2-1을 구하였는가?

따라서 구하는 값은2ln⁡2−1\displaystyle 2\ln 2-1이다.

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