상경계열 2번

문항1. (10 점)

문항2. (10 점)크리스털의 가격을 $\displaystyle p$라고 하자. $\displaystyle p$의 단위는 골드이다. 다음이 경우들이 발생한다.• $\displaystyle p>3$: 3골드 이상의 가격에 팔면 어떤 뽀로로도 크리스털을 사려하지 않으므로 이때의 수익은 0• $\displaystyle 1<p\le3$: 50마리의 뽀로로가 크리스털을 사려하므로 이때의 수익은 $\displaystyle 50p$• $\displaystyle p\le1$: 모든 뽀로로가 크리스털을 사려하므로 이때의 수익은 $\displaystyle 100p$따라서 $\displaystyle 50p$를 극대화 하는 $\displaystyle p=3$이고 $\displaystyle 100p$를 최대화 하는 $\displaystyle p=1$이다. $\displaystyle 50*3=150>100*1=100$이다. 따라서 $\displaystyle p=3$일 때 수익이 극대화 된다.

문항3. (10 점)올해의 수익 = $\displaystyle p(1)*q(1)$내년의 수익 = $\displaystyle p(2)*q(2)$총 수익의 현재가치: $\displaystyle p(1)q(1)+\delta p(2)q(2)$뽀로로의 현재가치: $\displaystyle (3-p(2))\delta$

문항4. (10 점)50마리의 뽀로로는 최대 1골드까지 지불할 의향이 있다. 이 뽀로로들은 올해 구입을 안 한다. 내년에 구입을 할 것이다. 나머지 50마리의 뽀로로는 최대 3골드까지 지불할 의향이 있다. 이 뽀로로들이 올해 모두 3골드에 크리스털을 구입하면 야율아보기의 예상은 맞다. 그러나 이 뽀로로들이 올해 구입하는 대신 내년까지 기다려서 더 싼 가격에 구입을 할 수 있다. 이 문제에서 뽀로로들은 무조건 내년까지 기다릴 것이다. 왜냐하면 올해 3까지 지불할 의향이 있는데 3을 지불하면 이 거래로부터 발행하는 아무런 이득도 없다. 그러나 1년을 기다리면 3의 가치를 가진 크리스털을 1만큼 지불하고 소유하므로 2라는 가치를 얻을 수 있다. 이것의 현재가치는 $\displaystyle 2\delta$이고 이것은 0 보다 크다. 따라서 모든 뽀로로들은 내년에 크리스털을 구입하려 할 것이다. 이 경우 거란의 올해 수익은 0 내년 수익은 100이다. 따라서 총 수익의 현재가치는 $\displaystyle 100\delta$이다.

문항5. (20 점)크리스털에 대하여 1만큼까지만 지불할 의향이 있는 뽀로로들은 모두 내년에 크리스털을 구입할 것이다. 여기서 발생하는 수익의 현재가치는 $\displaystyle 50\delta$이다. 한편 3골드까지 지불할 의향이 있는 뽀로로들은 다음과 같은 상황에 있다.• 올해 구입할 경우의 (현재) 가치 $\displaystyle (3-2)=1$• 내년에 구입할 경우의 가치: $\displaystyle (3-1)*\delta$즉 $\displaystyle 2\delta>1$인 경우 내년에 구입할 것이고 그 반대의 경우 올해 구입할 것이다. 따라서• $\displaystyle \delta>1/2$일 경우의 모두 내년에 구입: 총 현재가치는 $\displaystyle 50\delta$• 그 반대의 경우 모두 올해에 구입: 총 (현재)가치는 100결국• $\displaystyle \delta>1/2$ => 총 현재가치 = $\displaystyle 100\delta=50\delta+50\delta$• 기타 경우 => 총 현재가치 = $\displaystyle 100+50\delta$

문항6. (20 점)$\displaystyle p\le1$인 경우: 모든 뽀로로들이 현재 크리스털을 구입해버린다. 따라서 총 수익은 $\displaystyle 100p$.$\displaystyle p>1$인 경우:크리스털에 대하여 1만큼까지만 지불할 의향이 있는 뽀로로들은 모두 내년에 크리스털을 구입할 것이다. 여기서 발생하는 수익의 현재가치는 $\displaystyle 50\delta$이다. 한편 3골드까지 지불할 의향이 있는 뽀로로들은 다음과 같은 상황에 있다.• 올해 구입할 경우의 (현재) 가치 $\displaystyle 3-p$• 내년에 구입할 경우의 가치: $\displaystyle (3-1)*\delta=2\delta$따라서• $\displaystyle 1<p\le3-2\delta$: ‘3-골드 뽀로로’들 모두 올해 구입. 따라서 총 수익은 $\displaystyle 50p+50\delta$• $\displaystyle p>3-2\delta$: ‘3-골드 뽀로로’들 모두 내년 구입. 따라서 총 수익은 $\displaystyle 100\delta$

문항7. (20 점)6번의 확장 문제이다.$\displaystyle \delta<1$인 경우가) $\displaystyle 1<p\le3-2\delta$: 3-골드 뽀로로들 모두 올해 구입. 따라서 총 수익은 $\displaystyle 50p+50\delta$. 이 경우 $\displaystyle p$를 높일수록 수익은 늘어난다. $\displaystyle p$의 최대값인 $\displaystyle p=3-2\delta$일 경우 총 수익은 다음과 같다. $\displaystyle 50(3-2\delta)+50\delta=150-50\delta>100$ (왜냐하면 $\displaystyle \delta<1$).Comment. $\displaystyle p=3-2\delta$이면 $\displaystyle 3-p=2\delta$이므로 올해와 내년의 거래 가치가 같다. 이때 올해 구매한다는 별도의 선택 규칙이 있어야 대학 답안의 결론을 얻는다. 그러나 원칙에 따라 원문 표기를 그대로 실었다.나) $\displaystyle p<1$인 경우: 모든 뽀로로들이 현재 크리스털을 구입해버린다. 따라서 총 수익은 $\displaystyle 100p<100$. 따라서 $\displaystyle p<1$인 경우는 결코 수익 극대화 값이 될 수 없음. (가)의 경우 총 수익의 현재가치가 더 크다.다) $\displaystyle p>3-2\delta$인 경우: 모두 내년 구입. 따라서 총 수익은 $\displaystyle 100\delta<100$. 역시 (가)의 경우보다 총 수익의 현재가치가 작다.라) $\displaystyle p=1$인 경우: 모든 뽀로로들이 현재 구입. 따라서 총 수익은 100. 이는 (나)와 (다)보다는 높은 수익이나 (가) 보다는 작다.$\displaystyle \delta\ge1$인 경우이 경우 $\displaystyle p=3-2\delta\le1$. 따라서 $\displaystyle p>1$인 경우 모든 뽀로로가 내년에 구입. $\displaystyle p=1$인 모든 뽀로로가 현재 구입. 따라서 $\displaystyle p=1$이 최적값.이상을 정리하면 다음과 같음.$\displaystyle \begin{array}{c|c}\delta&\text{최적 }p\text{ 값}\\\hline\delta<1&3-2\delta\\\delta\ge1&1\end{array}$한편 문제에서 $\displaystyle 0<\delta<1$이라고 주어져 있으므로 두 번째 경우($\displaystyle \delta\ge1$)는 고려하지 않아야 하나 감점을 주지는 않음