자연계열 2번

(1) 정수 $\displaystyle a$와 $\displaystyle b$가 1보다 큰 공통인수 $\displaystyle m$을 갖는다면 적당한 정수 $\displaystyle a^{\prime}$과 $\displaystyle b^{\prime}$이 존재하여 $\displaystyle a=ma^{\prime}$, $\displaystyle b=mb^{\prime}$으로 표시할 수 있다. 조건 $\displaystyle bc-ad=1$로부터 $\displaystyle m(b^{\prime}c-a^{\prime}d)=1$이 성립한다. 따라서 $\displaystyle m$은 1의 약수가 되므로 모순이다. 그러므로 분수 $\displaystyle \frac{a}{b}$는 기약분수가 된다. 마찬가지 방법으로 분수 $\displaystyle \frac{c}{d}$도 기약분수가 된다.

(2) $\displaystyle n=b+d$인 경우 부등식 $\displaystyle \frac{a}{b}<\frac{a+c}{b+d}<\frac{c}{d}$이 성립하므로

두 분수 $\displaystyle \frac{a}{b}$와 $\displaystyle \frac{c}{d}$가 집합 $\displaystyle F_{n}$에서 연속한 위치에 놓이지 않게 된다.

위 조건이 필요조건임에 대한 증명: 두 분수 $\displaystyle \frac{a}{b}$와 $\displaystyle \frac{c}{d}$가 집합 $\displaystyle F_{n}$에 놓여있기 위해서는 집합 $\displaystyle F_{n}$의 정의에 의해 두 분수 $\displaystyle \frac{a}{b}$와 $\displaystyle \frac{c}{d}$의 분모인 $\displaystyle b$, $\displaystyle d$가 $\displaystyle n$이하이어야 하므로, $\displaystyle \max(b,d)\le n$가 만족되어야 한다. 또한 (2)번의 결과로부터 $\displaystyle n\le b+d-1$이어야 한다.

위 조건이 충분조건임에 대한 증명: 만약 두 분수 $\displaystyle \frac{a}{b}$와 $\displaystyle \frac{c}{d}$가 집합 $\displaystyle F_{n}$에 놓여 있으면서 연속한 위치에 있지 않다고 가정하자. 그러면, $\displaystyle \frac{a}{b}<\frac{h}{k}<\frac{c}{d}$인 기약분수 $\displaystyle \frac{h}{k}$가 집합 $\displaystyle F_{n}$에 존재한다. 이 때 $\displaystyle \frac{a}{b}<\frac{h}{k}$이므로 $\displaystyle bh-ak\ge 1$이 성립하고 또한 $\displaystyle \frac{h}{k}<\frac{c}{d}$이므로 $\displaystyle ck-dh\ge 1$이 성립한다. 따라서 부등식 $\displaystyle n\ge k=(bc-ad)k=b(ck-dh)+d(bh-ak)\ge b+d$를 얻게 된다.

그러므로 $\displaystyle n$이 다음 조건$\displaystyle \max(b,d)\le n\le b+d-1$을 만족하면 두 분수 $\displaystyle \frac{a}{b}$와 $\displaystyle \frac{c}{d}$가 집합 $\displaystyle F_{n}$에서 연속한 위치에 놓이게 된다.