자연계열 2번

반지름이 $\displaystyle r$인 원의 둘레의 길이는 $\displaystyle 2\pi r$이다. 정적분을 이용하면 다른 곡선의 길이도 구할 수 있다. 즉, 곡선 $\displaystyle y=f(x)$ $\displaystyle (a\le x\le b)$의 길이는 정적분 $\displaystyle \int_{a}^{b}\sqrt{1+(f^{\prime}(x))^{2}}\,dx$로 주어진다. 현주는 이를 이용해서 사인곡선 $\displaystyle y=\sin x$의 한 부분의 길이를 구하려고 했으나, 이 경우 정적분의 값을 계산하는 것이 쉽지 않음을 알았다. 그래서 현주는 정적분을 이용하지 않고 이 곡선의 길이를 구할 수 있는지 생각해 보았다. 다음은 현주가 생각한 방법을 요약한 것이다.

위의 그림과 같이 가로의 길이가 $\displaystyle 2\pi$인 직사각형 $\displaystyle PQRS$ 위에 곡선 $\displaystyle y=\sin x$ $\displaystyle (0\le x\le2\pi)$를 그리고 이를 $\displaystyle C$라 하자. 이 직사각형의 두 변 $\displaystyle PQ$, $\displaystyle SR$를 이어 붙여 원기둥을 만들면, 곡선 $\displaystyle C$는 원기둥 위의 어떤 곡선 $\displaystyle L$이 된다.(ㄱ) 곡선 $\displaystyle L$은 원기둥의 축과 각 $\displaystyle \frac{\pi}{4}$를 이루며 만나는 한 평면 위에 놓여 있다.(ㄴ) 곡선 $\displaystyle L$의 ‘원기둥의 축과 수직인 평면’ 위로의 정사영은 원기둥 위에 있는 한 원이다. 따라서 다음 관계가 성립한다. (곡선 $\displaystyle L$의 길이) $\displaystyle \cdot\cos\frac{\pi}{4}=$ (원기둥 위에 있는 한 원의 둘레의 길이).곡선 $\displaystyle C$의 길이는 곡선 $\displaystyle L$의 길이와 같고, 이 원기둥 위에 있는 원의 반지름은 항상 1이다. 따라서 현주는 곡선 $\displaystyle C$의 길이가 $\displaystyle 2\sqrt{2}\pi$라고 결론을 내렸다.