자연계열 1번

문항 1) 제시문 <다>에 의해, $\displaystyle A^2-(a+d)A+(ad-bc)E=O$. 이 식을 변형하면$\displaystyle -(ad-bc)E=A^2-(a+d)A=(A-(a+d)E)A$이 된다. 만약 $\displaystyle ad-bc\ne0$이면,$\displaystyle E=-\frac1{ad-bc}(A-(a+d)E)A$이므로 $\displaystyle A$의 역행렬 $\displaystyle A^{-1}$이 존재하고$\displaystyle A^{-1}=-\frac1{ad-bc}(A-(a+d)E)$임을 알 수 있다.

반대로 $\displaystyle A$가 가역행렬인데 $\displaystyle ad-bc=0$이라 가정하자. 이 경우 $\displaystyle A^2=(a+d)A$이고, $\displaystyle A$가 가역행렬이므로$\displaystyle A=(a+d)E$가 성립한다. 즉,$\displaystyle \begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}a+d&0\\0&a+d\end{pmatrix}$.결국 $\displaystyle a=b=c=d=0$임을 알 수 있고, $\displaystyle A=O$이 되어 가역행렬이라는 조건에 모순이다.

문항 2-1) $\displaystyle P^{-1}AP=\begin{pmatrix}2&0\\0&3\end{pmatrix}$에서 $\displaystyle A=P\begin{pmatrix}2&0\\0&3\end{pmatrix}P^{-1}$이고$\displaystyle A^2=P\begin{pmatrix}2&0\\0&3\end{pmatrix}P^{-1}P\begin{pmatrix}2&0\\0&3\end{pmatrix}P^{-1}=P\begin{pmatrix}2&0\\0&3\end{pmatrix}^2P^{-1}=P\begin{pmatrix}4&0\\0&9\end{pmatrix}P^{-1}$.따라서$\displaystyle \begin{aligned}O=A^2+kA+lE&=P\begin{pmatrix}4&0\\0&9\end{pmatrix}P^{-1}+kP\begin{pmatrix}2&0\\0&3\end{pmatrix}P^{-1}+lP\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}P^{-1}\\&=P\begin{pmatrix}4+2k+l&0\\0&9+3k+l\end{pmatrix}P^{-1}\end{aligned}$결국 $\displaystyle 4+2k+l=9+3k+l=0$이므로 $\displaystyle k=-5$이고 $\displaystyle l=6$이다.

문항 2-2) 제시문 (다)와 문제의 조건으로부터$\displaystyle A^2+kA-6E=O$이고 $\displaystyle A^2-4A+(4-bc)E=O$.따라서 앞의 식에서 뒤의 식을 빼면$\displaystyle (k+4)A+(bc-10)E=O$이고$\displaystyle (k+4)\begin{pmatrix}2&b\\c&2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}10-bc&0\\0&10-bc\end{pmatrix}$이다. 따라서 $\displaystyle k=-4$이거나 $\displaystyle b=c=0$임을 알 수 있다. 한편 $\displaystyle b=c=0$일 때, $\displaystyle 2(k+4)=10$이므로 $\displaystyle k=1$이다.

문항 3) 행렬 $\displaystyle A$에 대하여 $\displaystyle f(A)=O$인 일차식 $\displaystyle f(x)=px+q$가 있다고 하면$\displaystyle pA+qE=O$을 만족하고 $\displaystyle A$는 단위행렬 $\displaystyle E$의 실수배임을 알 수 있다. 따라서 이 경우 $\displaystyle g(x)$는 $\displaystyle f(x)$의 약수가 아니다.

행렬 $\displaystyle A$가 단위행렬 $\displaystyle E$의 실수배가 아니라면, 즉 $\displaystyle A\ne kE$ ($\displaystyle k$는 실수) 라면, $\displaystyle f(A)=O$인 일차식 $\displaystyle f(x)$는 존재하지 않는다. 따라서 $\displaystyle f(A)=O$인 다항식 $\displaystyle f(x)$는 2차이상이다. 제시문 (가)에 의해$\displaystyle f(x)=Q(x)g(x)+r(x)$인 계수가 실수인 다항식 $\displaystyle Q(x),r(x)$가 존재한다. 만약 $\displaystyle r(x)=0$이 아니라면, $\displaystyle r(x)$는 일차식이고,$\displaystyle r(A)=f(A)-Q(A)g(A)=O-Q(A)O=O$이 되어 $\displaystyle f(A)=O$인 일차식 $\displaystyle f(x)$는 존재하지 않는다는 사실에 모순이다. 따라서행렬 $\displaystyle A$가 단위행렬 $\displaystyle E$의 실수배가 아니면 $\displaystyle g(x)$는 $\displaystyle f(x)$의 약수이다.