한양대 서울캠퍼스 2014학년도 모의 1회 상경계열 2번 해설

[문제 2번] 다음 제시문을 읽고 물음에 답하시오. (50점)

뽀로로는 두 걸 그룹(Girl Group)을 육성하려 한다. 첫 번째 걸 그룹은 “DANCE”라고 불리우며 전통적인 댄스형이다. 두 번째 걸 그룹은 “ROCK”이라고 불리우며 이제까지 존재하지 않았던 혁신적인 록그룹의 형태이다. 뽀로로는 다음과 같이 두 걸 그룹들을 운영해야 한다.

두 걸 그룹 모두 2년 후에 해체된다.

매년 한 걸 그룹만 선택해서 키울 수 있다. 그래서 뽀로로의 행위를 <i, j, k>로 표시하면 i는 첫해에 뽀로로가 선택한 걸 그룹이다. j는 1년차에 선택한 걸 그룹 i가 성공할 때 두 번째 해에 선택하는 걸 그룹이다. k는 첫해에 선택한 걸 그룹 i가 실패할 때 2년차에 선택하는 걸 그룹이다. i, j, k는 모두 D또는 R의 값을 가진다. 여기서 D는 DANCE의 약자이고 R은 ROCK의 약자이다. 예를 들어, <D,D,D>란, 1년차에 걸 그룹 D를 선택하고, D가 성공하든, 실패하든 2년차에 D를 선택한다는 뜻이다.

뽀로로는 1년차 이익과 2년차 이익의 합의 기댓값을 최대화하고자 한다. 이익은 수익 - 비용이다.

다음 표의 부호들을 확인하시오.

$\displaystyle \def\arraystretch{1.4}\begin{array}{l|l}\text{부호}&\text{설명}\\\hline p(D)&\begin{aligned}&\text{DANCE가 1년차에 성공할 확률}\end{aligned}\\\hline p(R)&\begin{aligned}&\text{ROCK이 1년차에 성공할 확률}\end{aligned}\\\hline p(i\mid S,j)&\begin{aligned}&\text{1년차에 걸 그룹 j를 키웠는데 j가 1년차에 성공했고,}\\&\text{이러한 조건에서 2년차에 걸 그룹 i를 키울 때 i가}\\&\text{성공할 확률 (i, j는 D 또는 R.)}\end{aligned}\\\hline p(i\mid F,j)&\begin{aligned}&\text{1년차에 걸 그룹 j를 키웠는데 j가 1년차에 실패했고,}\\&\text{이러한 조건에서 2년차에 걸 그룹 i를 키울 때 i가}\\&\text{성공할 확률 (i, j는 D 또는 R.)}\end{aligned}\\\hline c(D)&\begin{aligned}&\text{DANCE를 키우는 비용}\end{aligned}\\\hline c(R)&\begin{aligned}&\text{ROCK을 키우는 비용}\end{aligned}\\\hline w(S), w(F)&\begin{aligned}&\text{어느 걸 그룹이 1년차에 성공할 때 발생하는 1년차의}\\&\text{수익은 w(S), 실패할 때는 w(F). 참고로 S는}\\&\text{성공(success), F는 실패(failure)를}\\&\text{나타낸다. 1년차의 성공이 DANCE때문인지}\\&\text{ROCK때문인지의 여부와 상관없음.}\end{aligned}\\\hline w(SS), w(SF), w(FS), w(FF)&\begin{aligned}&\text{어느 걸 그룹에서 발생하는 2년차의 수익은 1년차의}\\&\text{성공여부 (U=S 또는 F) 그리고 2년차의 성공여부}\\&\text{(V=S 또는 F)의 함수 w(U,V)다. 예를 들어}\\&\text{w(SF)는 1년차에 성공 (success)하고 2년차에}\\&\text{실패 (failure)할 때 2년차에 발생하는 수익이다.}\\&\text{1년차와 2년차의 성공이 각각 DANCE때문인지 혹은}\\&\text{ROCK때문인지의 여부와 상관없음.}\end{aligned}\end{array}$

1. 1년차에 걸 그룹 DANCE 또는 ROCK을 키운다고 하자. 이때 첫해의 수익의 기댓값을 각각 구하시오.

2. 뽀로로는 1년차에 걸 그룹 DANCE를 키우기로 했다. 2년차에는 무조건 걸 그룹 ROCK을 키우기로 했다. 이때 1년차와 2년차의 수익의 합의 기댓값을 구하시오. (힌트: 1년차 걸 그룹이 실패할 때와 성공할 때를 모두 고려하여야 함.)

3. 뽀로로의 행위가 <i, j, k>일 때 수익, 비용, 이익의 기댓값을 구하시오. (이익 = 수익-비용). 단, 답안을 i, j, k에 관한 식으로 나타낼 것.

이하의 문제에서는 다음과 같은 추가적 가정을 사용하자.

p(R|F,R) < p(R) < p(D) ≤ p(R|S,R) : 즉 혁신적인 걸 그룹 ROCK이 성공할 확률은 전통적인 걸 그룹 DANCE가 성공할 확률보다 작다. 그러나 ROCK이 1년차에 성공하면 2년차에 ROCK이 성공할 확률은 DANCE가 성공할 확률이 크다. ROCK이 1년차에 실패하면 2년차에 실패할 확률은 더 커진다.

p(D) = p(D|S,D) = p(D|F,D): 전통적 걸 그룹 DANCE가 성공할 확률은 1년차나 2년차나 동일하다. 특히 첫해에 DANCE가 성공했는지 실패했는지에 영향을 받지도 않는다.

i ≠ j인 경우 p(j) = p(j|S,i) = p(j|F,i): 2년차 어느 걸 그룹의 성공확률은 1년차 다른 걸 그룹의 성공여부에 영향을 받지 않는다.

4. 1년차에 어느 걸 그룹이 실패하는 경우 뽀로로는 2년차에 어떤 걸 그룹을 육성해야하는지 설명하시오.

5. 뽀로로가 전통 대신 혁신을 추구할 조건, 즉 ROCK을 1년차에 육성할 조건을 구하시오.(힌트: 위 4번 문제를 활용하면 쉽다.)

6. c(R) = c(D) = p(R|F,R) = 1-p(R|S,R) = w(FF) = w(SF) = w(F) = 0 이라고 하자. 그리고 w(S) = w(FS) = w(SS) = 1 라고 하자. 그리고 5번과 같이 뽀로로가 전통대신 혁신을 추구할 조건하에 뽀로로가 ROCK을 육성하면 DANCE를 육성할 때 보다 x 곱하기 p(D)만큼 (xp(D)) 이익이 더 발생한다고 하자. p(R)이 주어졌을 때 1/p(D)의 분포 가 1과 1/p(R) 사이에서 상수값 c인 확률밀도함수로 표현된다고 하자. 즉 다음이 성립한다 (미적분과 통계기본, 2013, 두 산동아, p.197)

$\displaystyle c\ge0$ ,　 $\displaystyle \int_1^{1/p(R)}c\,d\left(\frac1{p(D)}\right)=1$ ,　 $\displaystyle P\left(x_1\le\frac1{p(D)}\le x_2\right)=\int_{x_1}^{x_2}c\,d\left(\frac1{p(D)}\right)$ (단, $\displaystyle 1\le x_1\le x_2\le1/p(R)$ ).

그리고 다음이 정의된다 (미적분과 통계기본, 2013, 신사고, p.180).

평균: $\displaystyle E\left(\frac1{p(D)}\right)=m=\int_1^{1/p(R)}\left(\frac1{p(D)}\right)c\,d\left(\frac1{p(D)}\right)$

이때 (1) 1/p(R) 의 기댓값을 p(R)의 함수로 표현하시오. (2) x의 값은 무엇이 되어야 하는지 논하시오.Correction. 앞에서 확률분포를 정의한 것은 $\displaystyle 1/p(D)$ 이고 $\displaystyle p(R)$ 은 주어진 값이다. 따라서 문맥상 구하려는 기댓값은 $\displaystyle E[1/p(D)]=(1+1/p(R))/2$ 이다. 발문의 $\displaystyle 1/p(R)$ 은 $\displaystyle 1/p(D)$ 로 읽어야 한다.

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