자연계열 2번

1. 제시문 (나)에 의해 $\displaystyle f(x)=Q(x)(x-z)+r(x)$인 복소수를 계수로 하는 다항식 $\displaystyle Q(x),r(x)$가 존재한다. 이때 $\displaystyle r(x)$는 $\displaystyle x-z$보다 차수가 낮으므로 복소수 $\displaystyle r$이라 할 수 있다. 한편, $\displaystyle f(z)=0$이므로

$\displaystyle 0=f(z)=Q(z)(z-z)+r=r.$

따라서 $\displaystyle (x-z)$는 $\displaystyle f(x)$의 약수이다.

2. 만약 복소수를 계수로 하는 다항식이 일차식이라면 보일 것이 없다. 이제 차수 $\displaystyle k$의 복소수를 계수로 하는 다항식은 일차식의 곱으로 분해된다고 가정하고, $\displaystyle f(x)$를 $\displaystyle k+1$차 복소수를 계수로 하는 다항식이라 하자. 제시문 (가)에 의해 방정식 $\displaystyle f(x)=0$은 한 복소수 근 $\displaystyle z$를 갖는다. 따라서

$\displaystyle f(x)=(x-z)g(x)$

인 복소수를 계수로 하는 다항식 $\displaystyle g(x)$가 존재한다. 이때 $\displaystyle g(x)$의 차수는 $\displaystyle k$이므로, 가정에 의해 $\displaystyle g(x)$는 복소수를 계수로 하는 일차식의 곱으로 분해된다. 따라서 $\displaystyle f(x)$ 역시 복소수를 계수로 하는 일차식의 곱으로 분해된다.

3. $\displaystyle a_nz^n+a_{n-1}z^{n-1}+\cdots+a_1z+a_0=0$이므로, (다),(라)에 의해

$\displaystyle \begin{aligned}0=\bar0&=\overline{a_nz^n+a_{n-1}z^{n-1}+\cdots+a_1z+a_0}\\&=\overline{a_nz^n}+\overline{a_{n-1}z^{n-1}}+\cdots+\overline{a_1z}+\overline{a_0}\\&=\overline{a_n}(\bar z)^n+\overline{a_{n-1}}(\bar z)^{n-1}+\cdots+\overline{a_1}\bar z+\overline{a_0}\\&=a_n(\bar z)^n+a_{n-1}(\bar z)^{n-1}+\cdots+a_1\bar z+a_0\end{aligned}$

4. 실수를 계수로 하는 다항식은 2차 이하의 실수를 계수로 하는 다항식의 곱으로 표현할 수 있다. 이를 자세히 살펴보면, 우선 실수를 계수로 하는 다항식 역시 복소수를 계수로 하는 다항식이므로 문제 2)에 의해 복소수를 계수로 하는 일차식의 곱으로 표현할 수 있다. 다시 말해, $\displaystyle f(x)$가 $\displaystyle n$차 다항식이라면

$\displaystyle f(x)=a_n(x-z_1)\cdots(x-z_n)$

로 나타낼 수 있다. 이때 $\displaystyle a_n$은 실수, $\displaystyle z_1,\ldots,z_n$은 복소수이다. 한편, 문제 3)에 의하면 $\displaystyle (x-z)$가 $\displaystyle f(x)$의 약수이면 $\displaystyle (x-\bar z)$ 역시 $\displaystyle f(x)$의 약수임을 알 수 있다. 따라서

$\displaystyle f(x)=a_n(x-r_1)\cdots(x-r_p)(x-\alpha_1)(x-\overline{\alpha_1})\cdots(x-\alpha_q)(x-\overline{\alpha_q})$

로 나타낼 수 있다. 이때 $\displaystyle r_1,\ldots,r_p$는 실수, $\displaystyle \alpha_1,\ldots,\alpha_q$는 실수가 아닌 복소수이고, $\displaystyle f(x)$의 차수는 $\displaystyle p+2q$이다. 마지막으로, 다항식 $\displaystyle (x-\alpha_i)(x-\overline{\alpha_i})=x^2-(\alpha_i+\overline{\alpha_i})x+\alpha_i\overline{\alpha_i}$ ($\displaystyle i=1,\ldots,q$)는 실수를 계수로 하는 다항식이므로, $\displaystyle f(x)$는 1차 또는 2차의 실수를 계수로 하는 다항식의 곱으로 표현할 수 있다.