한양대 서울캠퍼스 2014학년도 모의 1회 자연계열 2번 해설

[문제 2] 다음 제시문을 읽고 물음에 답하시오

(가) 임의의 복소수를 계수로 하는 방정식

$\displaystyle a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots+a_1x+a_0=0$

은 복소수에서 근을 갖는다.

(나) 복소수를 계수로 하는 두 다항식 $\displaystyle f(x)$ , $\displaystyle g(x)$ 에 대하여

$\displaystyle f(x)=Q(x)g(x)+r(x)$

을 만족하는 복소수를 계수로 하는 다항식 $\displaystyle Q(x),r(x)$ 가 존재한다. 단, $\displaystyle r(x)=0$ 이거나 $\displaystyle r(x)$ 의 차수는 $\displaystyle g(x)$ 의 차수보다 낮다. 이 때, $\displaystyle r(x)=0$ 이면 $\displaystyle g(x)$ 는 $\displaystyle f(x)$ 의 약수라 부르고, $\displaystyle f(x)$ 는 $\displaystyle g(x)$ 의 배수라 부른다.

(다) 임의의 복소수 $\displaystyle z_1,z_2$ 에 대해 (i) $\displaystyle \overline{z_1+z_2}=\overline{z_1}+\overline{z_2}$ (ii) $\displaystyle \overline{z_1-z_2}=\overline{z_1}-\overline{z_2}$

(iii) $\displaystyle \overline{z_1z_2}=\overline{z_1}\cdot\overline{z_2}$ (iv) $\displaystyle \overline{\left(\frac{z_2}{z_1}\right)}=\frac{\overline{z_2}}{\overline{z_1}}$ (단, $\displaystyle z_1\ne0$ )

을 만족한다. 단, $\displaystyle \bar z$ 는 $\displaystyle z$ 의 켤레복소수를 의미한다.

(라) 복소수 $\displaystyle z$ 가 실수일 필요충분조건은 $\displaystyle \bar z=z$ 이다.

1) 복소수 $\displaystyle z$ 가 복소수를 계수로 하는 방정식 $\displaystyle a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots+a_1x+a_0=0$ 의 근이라면 $\displaystyle (x-z)$ 가 복소수를 계수로 하는 다항식 $\displaystyle f(x)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots+a_1x+a_0$ 의 약수임을 설명하시오.

2) 복소수를 계수로 하는 다항식은 복소수를 계수로 하는 일차식의 곱으로 분해됨을 다항식의 차수에 대한 수학적 귀납법을 이용하여 보이시오.

3) 제시문 (다)와 (라)를 이용하여, 복소수 $\displaystyle z$ 가 실수를 계수로 하는 방정식

$\displaystyle a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots+a_1x+a_0=0$

의 근이면, 그 켤레복소수 $\displaystyle \bar z$ 도 방정식의 근이 됨을 설명하시오.

4) 실수를 계수로 하는 다항식을 실수를 계수로 하는 다항식의 곱으로 나타내고자 한다. 약수의 차수를 최대한 낮추었을 때 실수를 계수로 하는 다항식은 몇 차 이하의 다항식의 곱으로 분해될지 논하시오.

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1. 제시문 (나)에 의해 $\displaystyle f(x)=Q(x)(x-z)+r(x)$ 인 복소수를 계수로 하는 다항식 $\displaystyle Q(x),r(x)$ 가 존재한다. 이때 $\displaystyle r(x)$ 는 $\displaystyle x-z$ 보다 차수가 낮으므로 복소수 $\displaystyle r$ 이라 할 수 있다. 한편, $\displaystyle f(z)=0$ 이므로

$\displaystyle 0=f(z)=Q(z)(z-z)+r=r.$

따라서 $\displaystyle (x-z)$ 는 $\displaystyle f(x)$ 의 약수이다.

2. 만약 복소수를 계수로 하는 다항식이 일차식이라면 보일 것이 없다. 이제 차수 $\displaystyle k$ 의 복소수를 계수로 하는 다항식은 일차식의 곱으로 분해된다고 가정하고, $\displaystyle f(x)$ 를 $\displaystyle k+1$ 차 복소수를 계수로 하는 다항식이라 하자. 제시문 (가)에 의해 방정식 $\displaystyle f(x)=0$ 은 한 복소수 근 $\displaystyle z$ 를 갖는다. 따라서

$\displaystyle f(x)=(x-z)g(x)$

인 복소수를 계수로 하는 다항식 $\displaystyle g(x)$ 가 존재한다. 이때 $\displaystyle g(x)$ 의 차수는 $\displaystyle k$ 이므로, 가정에 의해 $\displaystyle g(x)$ 는 복소수를 계수로 하는 일차식의 곱으로 분해된다. 따라서 $\displaystyle f(x)$ 역시 복소수를 계수로 하는 일차식의 곱으로 분해된다.

3. $\displaystyle a_nz^n+a_{n-1}z^{n-1}+\cdots+a_1z+a_0=0$ 이므로, (다),(라)에 의해

$\displaystyle \begin{aligned}0=\bar0&=\overline{a_nz^n+a_{n-1}z^{n-1}+\cdots+a_1z+a_0}\\&=\overline{a_nz^n}+\overline{a_{n-1}z^{n-1}}+\cdots+\overline{a_1z}+\overline{a_0}\\&=\overline{a_n}(\bar z)^n+\overline{a_{n-1}}(\bar z)^{n-1}+\cdots+\overline{a_1}\bar z+\overline{a_0}\\&=a_n(\bar z)^n+a_{n-1}(\bar z)^{n-1}+\cdots+a_1\bar z+a_0\end{aligned}$

4. 실수를 계수로 하는 다항식은 2차 이하의 실수를 계수로 하는 다항식의 곱으로 표현할 수 있다. 이를 자세히 살펴보면, 우선 실수를 계수로 하는 다항식 역시 복소수를 계수로 하는 다항식이므로 문제 2)에 의해 복소수를 계수로 하는 일차식의 곱으로 표현할 수 있다. 다시 말해, $\displaystyle f(x)$ 가 $\displaystyle n$ 차 다항식이라면

$\displaystyle f(x)=a_n(x-z_1)\cdots(x-z_n)$

로 나타낼 수 있다. 이때 $\displaystyle a_n$ 은 실수, $\displaystyle z_1,\ldots,z_n$ 은 복소수이다. 한편, 문제 3)에 의하면 $\displaystyle (x-z)$ 가 $\displaystyle f(x)$ 의 약수이면 $\displaystyle (x-\bar z)$ 역시 $\displaystyle f(x)$ 의 약수임을 알 수 있다. 따라서

$\displaystyle f(x)=a_n(x-r_1)\cdots(x-r_p)(x-\alpha_1)(x-\overline{\alpha_1})\cdots(x-\alpha_q)(x-\overline{\alpha_q})$

로 나타낼 수 있다. 이때 $\displaystyle r_1,\ldots,r_p$ 는 실수, $\displaystyle \alpha_1,\ldots,\alpha_q$ 는 실수가 아닌 복소수이고, $\displaystyle f(x)$ 의 차수는 $\displaystyle p+2q$ 이다. 마지막으로, 다항식 $\displaystyle (x-\alpha_i)(x-\overline{\alpha_i})=x^2-(\alpha_i+\overline{\alpha_i})x+\alpha_i\overline{\alpha_i}$ ( $\displaystyle i=1,\ldots,q$ )는 실수를 계수로 하는 다항식이므로, $\displaystyle f(x)$ 는 1차 또는 2차의 실수를 계수로 하는 다항식의 곱으로 표현할 수 있다.

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