상경계열 2번

1. 세 학생이 알고 있는 단어의 집합을 각각 $\displaystyle A,B,C$라 하자.$\displaystyle n((A\cap B)\cup(A\cap C))=n(A\cap B)+n(A\cap C)-n(A\cap B\cap C)$이므로,$\displaystyle \begin{aligned}n(A\cap B\cap C)&=n(A\cap B)+n(A\cap C)-n(A\cap(B\cup C))\\&\ge7000+7000-10000\ge4000\end{aligned}$명백히 $\displaystyle n(A\cap B\cap C)\le n(A\cap B)=7000$. 즉, $\displaystyle 4000\le n(A\cap B\cap C)\le7000$.그런데,$\displaystyle V=n(A\cup B\cup C)$$\displaystyle =n(A)+n(B)+n(C)-n(A\cap B)-n(B\cap C)-n(C\cap A)+n(A\cap B\cap C)$$\displaystyle =30000-21000+n(A\cap B\cap C)$따라서 $\displaystyle 13000\le V\le16000$.

2. 세 학생이 7000단어를 공통으로 알고 있고, 이 7000개의 단어와 공통되는 것이 없고 또한 서로 공통되는 것이 없는 단어들을 각각 3000단어 씩 알고 있다면, 각 학생이 일 만 개의 단어를 알고 있고 임의의 두 학생이 7000단어를 공유한다는 조건을 충족한다. 이때 $\displaystyle V=16000$이다.세 학생이 4000단어를 공통으로 알고 있다고 하자. 이 4000단어와는 물론 서로 공통되는 것이 없는 3000개의 단어로 이루어진 집합 $\displaystyle X,Y,Z$를 생각하자. 세 학생이 각각 $\displaystyle X\cup Y,Y\cup Z,Z\cup X$에 속하는 단어들을 모두 알고 있으면, 각 학생이 일 만 개의 단어를 알고 있고 임의의 두 학생이 7000단어를 공유한다는 조건을 충족한다. 이 때 $\displaystyle V=13000$이다.

3. 가능하다. 7000개의 모든 학생들이 공통으로 아는 단어들이 있고, 이 7000개의 단어와는 물론 서로 공통되는 것이 없는 각각 3000개의 단어로 이루어진 1000개의 집합을 생각하자. 1000명의 학생이 이 중 서로 다른 집합을 각각 선택해 그 집합에 속하는 단어도 알고 있다면, 각 학생이 일 만개의 단어를 알고 있고 임의의 두 학생이 7000단어를 공유한다는 조건을 충족한다. 이때 항상 $\displaystyle V=16000$이다.

4. $\displaystyle P(13000)=1$이므로 $\displaystyle k=\frac1{9\times10^6}$이다.$\displaystyle 13000\le V\le16000$이므로 $\displaystyle 0\le X\le1$이고, $\displaystyle x\le X\le1$일 확률 $\displaystyle Q(x)$는$\displaystyle V=3000X+13000\ge3000x+13000$일 확률이므로 $\displaystyle Q(x)=P(3000x+13000)=(x-1)^2$이다. 그러므로 $\displaystyle X$를 연속확률변수로 생각하고, $\displaystyle X$의 확률밀도함수를 $\displaystyle f(x)$라 두면$\displaystyle Q(x)=\int_x^1f(x)dx=(x-1)^2\text{에서 }f(x)=2-2x.$따라서 $\displaystyle X$의 평균은 $\displaystyle E(X)=\int_0^1x(2-2x)dx=\frac13$.Comment. 문제에서 $\displaystyle V$는 단어 수이므로 $\displaystyle X=\frac{V-13000}{3000}$은 이산확률변수이다. 주어진 확률식으로 $\displaystyle X$의 평균을 계산하면 $\displaystyle E(X)=\frac{17991001}{54000000}\approx0.333166685$이다. 대학 답안의 $\displaystyle \frac13$은 $\displaystyle X$를 연속확률변수로 보아 적분하여 얻은 근삿값이다. 원칙에 따라 원문 표기를 그대로 실었다.