자연계열 2번

1. A마을과 B마을을 초점으로 하고 두 마을까지의 거리의 합이 $\displaystyle 5t$인 지점들로 이루어지는 타원을 생각하자. 타원의 안쪽에 있는 지역은 이 사람이 $\displaystyle t$시간 안에 들렀다가 B마을에 도착하는 것이 가능하고 이 타원의 밖에 있는 지역은 $\displaystyle t$시간 안에 도달했다가 여행을 마칠 수 없다. 따라서, A마을과 B마을을 촛점으로 하고 이 두 마을까지의 거리의 합이 $\displaystyle 5t$인 타원의 안쪽이다.

2. 문항 1의 타원은 $\displaystyle t$가 커질수록 중심이 두 마을의 중간지점을 중심으로 하고 반지름 $\displaystyle \frac52t$인 원과 비슷해지므로 $\displaystyle A(t)\approx\pi(\frac52t)^2$이다. $\displaystyle \lim_{t\to\infty}\frac{A(t)}{t^2}=\frac{25}4\pi$.

3. 촛점 사이의 거리가 10km, $\displaystyle 2d=20$km인 타원의 넓이이다.$\displaystyle xy$-평면에서 촛점 $\displaystyle (-1,0),(1,0),\ 2d=4$인 타원의 식은 $\displaystyle \frac{x^2}{2^2}+\frac{y^2}3=1$이다.곡선 $\displaystyle y=\sqrt3\sqrt{1-\frac{x^2}4},\ 0\le x\le2$과 $\displaystyle x$-축 사이의 넓이 $\displaystyle A$를 4배한 것이 이 타원의 넓이이다.$\displaystyle A=\sqrt3\int_0^2\sqrt{1-\frac{x^2}4}\,dx$이다. $\displaystyle x=2\sin\theta,\ 0\le\theta\le\frac\pi2$로 치환하면,$\displaystyle dx=2\cos\theta$이므로 $\displaystyle A=\sqrt3\int_0^{\frac\pi2}2\cos^2\theta\,d\theta=\sqrt3\int_0^{\frac\pi2}(1+\cos2\theta)d\theta=\frac{\sqrt3\pi}2$.Correction. 치환을 미분한 식에 $\displaystyle d\theta$가 빠졌다. 바른 식은 $\displaystyle dx=2\cos\theta\,d\theta$이다. 그러나 원칙에 따라 원문 표기를 그대로 실었다.따라서 이 타원의 넓이는 $\displaystyle 2\sqrt3\pi$이고, 보물이 숨겨져 있을 가능성이 있는 지역의 넓이는 $\displaystyle 50\sqrt3\pi$ km² 이다.