상경계열 2번

1. (i) $\displaystyle c=0$인 경우$\displaystyle a+\int_b^xf(ct)\,dt=a+\int_b^xf(0)\,dt=a+f(0)(x-b)=x^n$이므로$\displaystyle n=1,\ f(0)=1,\ a=b$이고 다항함수 $\displaystyle f(x)=1+g(x)$, (단, $\displaystyle g(x)$는 $\displaystyle g(0)=0$인 다항함수이다.)(ii) $\displaystyle c\ne0$인 경우정적분과 미분의 관계에 의하여$\displaystyle f(cx)=nx^{n-1}$이고 $\displaystyle x=b$라 두면 $\displaystyle a=b^n$이다. $\displaystyle f(x)=nc^{1-n}x^{n-1}$이다.$\displaystyle f(x)=\begin{cases}1+g(x)&\text{(단, }g(x)\text{는 }g(0)=0\text{인 다항함수, }n=1,\ a=b)\quad(c=0\text{일 때})\\nc^{1-n}x^{n-1}&\text{(단, }a=b^n)\quad(c\ne0\text{일 때})\end{cases}$이다.

2. (i) $\displaystyle c=0$인 경우$\displaystyle a+\int_b^xf(ct^k)\,dt=a+\int_b^xf(0)\,dt=a+f(0)(x-b)=x^n$이므로$\displaystyle n=1,\ f(0)=1,\ a=b$이고 다항함수 $\displaystyle f(x)=1+g(x)$, (단, $\displaystyle g(x)$는 $\displaystyle g(0)=0$인 다항함수이다.)(ii) $\displaystyle c\ne0$인 경우준식의 양변을 미분하면 정적분과 미분의 관계에 의하여 $\displaystyle f(cx^k)=nx^{n-1}$이다.$\displaystyle cx^k=t$로 치환하면 $\displaystyle x=\left(\frac tc\right)^{\frac1k}$이고, $\displaystyle f(t)=n\left(\frac tc\right)^{\frac{n-1}k}=nc^{\frac{1-n}k}x^{\frac{n-1}k}$Correction. 소문항 2에서 $\displaystyle cx^k=t$로 치환한 직후 $\displaystyle f(t)$를 나타낸 식의 마지막 $\displaystyle x$는 $\displaystyle t$의 오기이다. 그러나 원문 표기는 그대로 실었다.$\displaystyle x=b$라 두면 $\displaystyle a=b^n$이고 $\displaystyle n-1=kl$ (단, $\displaystyle l$은 자연수)로 되어져야 하며 $\displaystyle f(x)=nc^{\frac{1-n}k}x^{\frac{n-1}k}$이다.Caution. 양수와 음이 아닌 수, 음수와 양이 아닌 수를 구별해야 한다: 소문항 2의 $\displaystyle c\ne0$인 경우에도 $\displaystyle n=1$이 가능하므로, $\displaystyle n-1=k\ell$의 $\displaystyle \ell$은 음이 아닌 정수여야 한다. $\displaystyle \ell=0$이면 $\displaystyle f(x)=1$, $\displaystyle a=b$가 되어 주어진 등식을 만족한다. 최종 답안의 ‘$\displaystyle n-1$은 $\displaystyle k$의 배수’라는 조건에는 $\displaystyle 0$도 포함된다. 원칙에 따라 원문 표기를 그대로 실었다.$\displaystyle f(x)=\begin{cases}1+g(x)&\text{(단, }g(x)\text{는 }g(0)=0\text{인 다항함수, }n=1,\ a=b)\quad(c=0\text{일 때})\\nc^{\frac{1-n}k}x^{\frac{n-1}k}&\text{(단, }a=b^n,\ n-1\text{은 }k\text{의 배수})\quad(c\ne0\text{일 때})\end{cases}$이다.

3. (i) $\displaystyle c=0$인 경우$\displaystyle a+\int_b^xf(ct)\,dt=a+\int_b^xf(0)\,dt=a+f(0)(x-b)=\sum_{j=1}^na_jx^{jn}$이므로$\displaystyle n=1,\ f(0)=a_1,\ a=f(0)b=a_1b$이고 다항함수 $\displaystyle f(x)=a_1+g(x)$, (단, $\displaystyle g(x)$는 $\displaystyle g(0)=0$인 다항함수이다.)(ii) $\displaystyle c\ne0$인 경우정적분과 미분의 관계에 의하여$\displaystyle f(cx)=\sum_{j=1}^njna_jx^{jn-1}$이고 $\displaystyle x=b$라 두면 $\displaystyle a=\sum_{j=1}^na_jb^{jn}$이다.그리고 $\displaystyle f(x)=\sum_{j=1}^njna_jc^{1-jn}x^{jn-1}$이다.$\displaystyle f(x)=\begin{cases}a_1+g(x)&\text{(단, }g(x)\text{는 }g(0)=0\text{인 다항함수, }n=1,\ a=a_1b)\quad(c=0\text{일 때})\\\sum_{j=1}^njna_jc^{1-jn}x^{jn-1}&\text{(단, }a=\sum_{j=1}^na_jb^{jn})\quad(c\ne0\text{일 때})\end{cases}$이다.

4. (i) $\displaystyle c=0$인 경우$\displaystyle a+\int_b^xf(ct^k)\,dt=a+\int_b^xf(0)\,dt=a+f(0)(x-b)=\sum_{j=1}^na_jx^{jn}$이므로$\displaystyle n=1,\ f(0)=a_1,\ a=f(0)b=a_1b$이고 다항함수 $\displaystyle f(x)=a_1+g(x)$, (단, $\displaystyle g(x)$는 $\displaystyle g(0)=0$인 다항함수이다.)(ii) $\displaystyle c\ne0$인 경우정적분과 미분의 관계에 의하여$\displaystyle f(cx^k)=\sum_{j=1}^njna_jx^{jn-1}$이고 $\displaystyle x=b$라 두면 $\displaystyle a=\sum_{j=1}^na_jb^{jn}$이다.그리고 $\displaystyle f(x)=\sum_{j=1}^njna_jc^{\frac{1-jn}k}x^{\frac{jn-1}k}$ (단, $\displaystyle jn-1$이 $\displaystyle k$의 배수가 아닌 경우 $\displaystyle a_j=0$) 이다.$\displaystyle f(x)=\begin{cases}a_1+g(x)&\text{(단, }g(x)\text{는 }g(0)=0\text{인 다항함수, }n=1,\ a=a_1b)\quad(c=0\text{일 때})\\\sum_{j=1}^njna_jc^{\frac{1-jn}k}x^{\frac{jn-1}k}&\text{(단, }a=\sum_{j=1}^na_jb^{jn},\ jn-1\text{이 }k\text{의 배수가 아닌 경우 }a_j=0)\quad(c\ne0\text{일 때})\end{cases}$이다.