자연계열 2번

한양대 서울캠퍼스 2017학년도 모의 1회 자연계열 2번 · mathesis.kr/archive/hanyang_seoul/2017mo_1/jayeon_2

[문제 2번] 다음 제시문을 읽고 물음에 답하시오. (50점)

함수 $\displaystyle f(x)$ 는 임의의 실수 $\displaystyle a,b$ 에 대하여

$\displaystyle f(a+b)=\frac{f(a)f(b)}{2017}$

를 만족한다.

1. 모든 실수 $\displaystyle x$ 에 대하여 $\displaystyle f(x)\ge0$ 임을 보이고, 함수 $\displaystyle f(x)$ 가 $\displaystyle x=0$ 에서 연속이면 모든 실수 $\displaystyle a$ 에 대하여 $\displaystyle x=a$ 에서 연속임을 보이시오.

2. 함수 $\displaystyle f(x)$ 가 $\displaystyle x=0$ 에서 미분 가능하면, 모든 실수 $\displaystyle a$ 에 대하여 $\displaystyle x=a$ 에서 미분 가능함을 보이시오.

[3~4] 함수 $\displaystyle f(x)$ 의 역함수 $\displaystyle f^{-1}(x)$ 가 존재한다.

3. 모든 양의 실수 $\displaystyle a,b$ 에 대하여 $\displaystyle f^{-1}\left(\frac{ab}{2017}\right)=f^{-1}(a)+f^{-1}(b)$ 임을 보이시오.

4. 함수 $\displaystyle f(x)$ 가 $\displaystyle x=0$ 에서 미분 가능하고 $\displaystyle f^{\prime}(0)\ne0$ 이라면, 함수 $\displaystyle f^{-1}(x)$ 는 모든 양의 실수 $\displaystyle a$ 에 대하여 $\displaystyle x=a$ 에서 미분 가능함을 보이시오.

해설강의 준비중

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+10점 ·

\displaystyle f(x)\ge0

임을 보였는가?

1. 우선 $\displaystyle f(x)=f\left(\frac x2+\frac x2\right)=\frac1{2017}f\left(\frac x2\right)^2\ge0$ 이다.

+20점 · 함수

\displaystyle f(x)

가 임의의 실수

\displaystyle a

에 대하여

\displaystyle x=a

에서 연속임을 두 가지 경우로 나누어 잘 보였는가?

한편, $\displaystyle f(0)=\frac1{2017}f(0)^2$ 이므로 $\displaystyle f(0)=0$ 또는 2017이다. 만약 $\displaystyle f(0)=0$ 이면, 모든 실수 $\displaystyle x$ 에 대하여 $\displaystyle f(x)=f(x+0)=\frac{f(x)f(0)}{2017}=0$ 이다.즉, 함수 $\displaystyle f(x)=0$ (상수함수)으로 연속함수이다. 만약 $\displaystyle f(0)=2017$ 이고 함수 $\displaystyle f(x)$ 가 $\displaystyle x=0$ 에서 연속이라면, 즉 $\displaystyle \lim_{x\to0}f(x)=f(0)=2017$ 이라면, $\displaystyle \lim_{x\to a}f(x)=\lim_{x\to0}f(a+x)=\lim_{x\to0}\frac{f(a)f(x)}{2017}=f(a)$ 따라서 함수 $\displaystyle f(x)$ 는 임의의 실수 $\displaystyle x=a$ 에서 연속이다.

+20점 · 미분의 정의를 이용하여 미분 가능함을 보였는가?

2. 1번에서 볼 수 있듯이 만약 $\displaystyle f(0)=0$ 이면, 함수 $\displaystyle f(x)=0$ (상수함수)으로 미분가능함수이다. 만약 $\displaystyle f(0)\ne0$ 이면 $\displaystyle f(0)=2017$ 이고, 함수 $\displaystyle f(x)$ 가 $\displaystyle x=0$ 에서 미분 가능하므로 $\displaystyle f^{\prime}(0)=\lim_{h\to0}\frac{f(0+h)-f(0)}h=\lim_{h\to0}\frac{f(h)-2017}h$ 가 존재한다. 또한 임의의 실수 $\displaystyle a$ 에 대하여 $\displaystyle \begin{aligned}f^{\prime}(a)&=\lim_{h\to0}\frac{f(a+h)-f(a)}h\\&=\lim_{h\to0}\frac{f(a)f(h)/2017-f(a)}h\\&=\frac{f(a)}{2017}\lim_{h\to0}\frac{f(h)-2017}h\\&=\frac{f(a)}{2017}f^{\prime}(0)\end{aligned}$ 역시 존재한다. 따라서 함수 $\displaystyle f(x)$ 는 $\displaystyle x=a$ 에서 미분 가능하다.

+20점 · 역함수의 관계와 함수

\displaystyle f(x)

의 성질을 이용하여 잘 증명하였는가?

3. $\displaystyle f^{-1}(a)=c,f^{-1}(b)=d$ 라 하면 $\displaystyle f^{-1}(a)+f^{-1}(b)=c+d$ 이다. 한편 $\displaystyle f(c)=a,f(d)=b$ 이므로 $\displaystyle \frac{ab}{2017}=\frac{f(c)f(d)}{2017}=f(c+d)$ 이다. 따라서 $\displaystyle f^{-1}\left(\frac{ab}{2017}\right)=c+d=f^{-1}(a)+f^{-1}(b)$ 이다.

+30점 · 역함수 미분법과 미분의 정의를 이용하여 미분 가능함을 보였는가?

4. 함수 $\displaystyle f(x)$ 의 역함수 $\displaystyle f^{-1}(x)$ 를 $\displaystyle g(x)$ 라 하자. 함수 $\displaystyle f(x)$ 가 $\displaystyle x=0$ 에서 미분 가능하면, 역함수 미분법에 의해 함수 $\displaystyle g(x)$ 는 $\displaystyle f(0)=2017$ 에서 미분가능하고 $\displaystyle g^{\prime}(2017)=\frac1{f^{\prime}(0)}$ 이다. 한편 $\displaystyle g^{\prime}(2017)=\lim_{h\to0}\frac{g(2017+h)-g(2017)}h=\lim_{h\to0}\frac{g(2017+h)}h$ 이므로 $\displaystyle \begin{aligned}g^{\prime}(a)&=\lim_{h\to0}\frac{g(a+h)-g(a)}h\\&=\lim_{h\to0}\frac{g(a)+g(2017+2017h/a)-g(a)}h\\&=\lim_{h\to0}\frac{g(2017+2017h/a)}h\\&=\frac{2017}a\lim_{h\to0}\frac{g(2017+2017h/a)}{2017h/a}\\&=\frac{2017}ag^{\prime}(2017)\end{aligned}$ 역시 존재한다. 따라서 함수 $\displaystyle g(x)=f^{-1}(x)$ 는 $\displaystyle x=a$ 에서 미분 가능하다.

별해> 역함수 미분법과 2번의 결과에 의해서 $\displaystyle f(c)=a$ 인 $\displaystyle c$ 에 대하여 $\displaystyle g^{\prime}(a)=\frac1{f^{\prime}(c)}=\frac1{\frac{f(c)}{2017}f^{\prime}(0)}=\frac{2017}{af^{\prime}(0)}$ 따라서 함수 $\displaystyle g(x)=f^{-1}(x)$ 는 양의실수 $\displaystyle a$ 에 대하여 $\displaystyle x=a$ 에서 미분 가능하다.

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