자연계열 2번

1. 우선 $\displaystyle f(x)=f\left(\frac x2+\frac x2\right)=\frac1{2017}f\left(\frac x2\right)^2\ge0$이다.

한편, $\displaystyle f(0)=\frac1{2017}f(0)^2$이므로 $\displaystyle f(0)=0$ 또는 2017이다. 만약 $\displaystyle f(0)=0$이면, 모든 실수 $\displaystyle x$에 대하여$\displaystyle f(x)=f(x+0)=\frac{f(x)f(0)}{2017}=0$이다.즉, 함수 $\displaystyle f(x)=0$ (상수함수)으로 연속함수이다. 만약 $\displaystyle f(0)=2017$이고 함수 $\displaystyle f(x)$가 $\displaystyle x=0$에서 연속이라면, 즉$\displaystyle \lim_{x\to0}f(x)=f(0)=2017$이라면,$\displaystyle \lim_{x\to a}f(x)=\lim_{x\to0}f(a+x)=\lim_{x\to0}\frac{f(a)f(x)}{2017}=f(a)$따라서 함수 $\displaystyle f(x)$는 임의의 실수 $\displaystyle x=a$에서 연속이다.

2. 1번에서 볼 수 있듯이 만약 $\displaystyle f(0)=0$이면, 함수 $\displaystyle f(x)=0$ (상수함수)으로 미분가능함수이다. 만약 $\displaystyle f(0)\ne0$이면$\displaystyle f(0)=2017$이고, 함수 $\displaystyle f(x)$가 $\displaystyle x=0$에서 미분 가능하므로$\displaystyle f^{\prime}(0)=\lim_{h\to0}\frac{f(0+h)-f(0)}h=\lim_{h\to0}\frac{f(h)-2017}h$가 존재한다. 또한 임의의 실수 $\displaystyle a$에 대하여$\displaystyle \begin{aligned}f^{\prime}(a)&=\lim_{h\to0}\frac{f(a+h)-f(a)}h\\&=\lim_{h\to0}\frac{f(a)f(h)/2017-f(a)}h\\&=\frac{f(a)}{2017}\lim_{h\to0}\frac{f(h)-2017}h\\&=\frac{f(a)}{2017}f^{\prime}(0)\end{aligned}$역시 존재한다. 따라서 함수 $\displaystyle f(x)$는 $\displaystyle x=a$에서 미분 가능하다.

3. $\displaystyle f^{-1}(a)=c,f^{-1}(b)=d$라 하면 $\displaystyle f^{-1}(a)+f^{-1}(b)=c+d$이다. 한편 $\displaystyle f(c)=a,f(d)=b$이므로$\displaystyle \frac{ab}{2017}=\frac{f(c)f(d)}{2017}=f(c+d)$이다. 따라서$\displaystyle f^{-1}\left(\frac{ab}{2017}\right)=c+d=f^{-1}(a)+f^{-1}(b)$이다.

4. 함수 $\displaystyle f(x)$의 역함수 $\displaystyle f^{-1}(x)$를 $\displaystyle g(x)$라 하자. 함수 $\displaystyle f(x)$가 $\displaystyle x=0$에서 미분 가능하면, 역함수 미분법에 의해 함수 $\displaystyle g(x)$는 $\displaystyle f(0)=2017$에서 미분가능하고$\displaystyle g^{\prime}(2017)=\frac1{f^{\prime}(0)}$이다. 한편$\displaystyle g^{\prime}(2017)=\lim_{h\to0}\frac{g(2017+h)-g(2017)}h=\lim_{h\to0}\frac{g(2017+h)}h$이므로$\displaystyle \begin{aligned}g^{\prime}(a)&=\lim_{h\to0}\frac{g(a+h)-g(a)}h\\&=\lim_{h\to0}\frac{g(a)+g(2017+2017h/a)-g(a)}h\\&=\lim_{h\to0}\frac{g(2017+2017h/a)}h\\&=\frac{2017}a\lim_{h\to0}\frac{g(2017+2017h/a)}{2017h/a}\\&=\frac{2017}ag^{\prime}(2017)\end{aligned}$역시 존재한다. 따라서 함수 $\displaystyle g(x)=f^{-1}(x)$는 $\displaystyle x=a$에서 미분 가능하다.