자연계열 1번

오른쪽 그림과 같이 물을 공급하는 유입관과 물이 외부로 배출되는 유출관이 연결된 수조가 있다. 수조에 1 (리터/초)의 속도로 물이 유입되며, 수조에서 물이 배출되는 속도는 다음의 함수로 주어진다.

$\displaystyle r(t)=\frac{4}{\sqrt{t+1}},\quad t\ge0.$

여기서 시간 $\displaystyle t$의 단위는 (초)이고, $\displaystyle r(t)$의 단위는 (리터/초)이다. 초기$\displaystyle (t=0)$에 수조에는 9 리터의 물이 담겨져 있다.

문제 (가)에서와 유사한 개념의 그래프는 교통 신호 분석, 컴퓨터 네트워크 분석 등에 유용하게 쓰일 수 있다. 이제 문제 (가)에서의 물의 유입과 배출에 관한 사항을 교통 신호 문제에 적용해 보자. 차량의 수를 물의 양과 같이 실수 값을 가지는 연속적인 양으로, 차량의 흐름도 연속적인 유체의 흐름으로 가정하자.

편도 1차선인 도로의 횡단보도 위에 차량을 위한 녹색과 적색의 2색 신호등이 있다. 차량은 녹색등이 점등되어 있을 때 횡단보도를 지나갈 수 있으나, 적색등이 점등되어 있을 때는 통과할 수 없다. 녹색등과 적색등은 번갈아 가며 켜지고, 적색등이 켜진 시점으로부터 다음번 적색등이 켜질 때까지의 시간은$\displaystyle T$(초)이다. 이 $\displaystyle T$초 구간에 적색등이 점등되어 있는 시간은 $\displaystyle T_{{r}}$(초)이고, 녹색등이 점등되어 있는 시간은 $\displaystyle T_{{g}}$(초)이며, $\displaystyle T = T_{{r}} + T_{{g}}$이다. 시간 $\displaystyle t = 0$에서 적색등이 켜진다. 이 도로로 유입되는 차량은 항상 일정하게 초당 $\displaystyle \lambda$대이고, 녹색등이 점등되어 있는 동안에는 초당 $\displaystyle \mu$대가 횡단보도를 지나간다.

우리는 임의의 시간 $\displaystyle t_{{0}}$에서 대기하는 차량의 수에 관심이 있다. 임의의 시간 $\displaystyle t_{{0}}$에서 대기하는 차량의 수란, $\displaystyle t = 0$에 횡단보도 정지선에 대기하고 있는 차량의 수와 0초에서 $\displaystyle t_{{0}}$초까지 이 도로로 유입된 차량의 총 수의 합에서, 0초에서 $\displaystyle t_{{0}}$초까지 횡단보도를 지나간 차량의 총 수를 뺀 값이다.

$\displaystyle T_{{r}} : T_{{g}} = 1 : 2$이며, $\displaystyle 2 \mu \geq 3 \lambda$인 경우에 대해 다음의 물음에 답하시오.