자연계열 2번

멘델의 유전법칙에 따르면 각 개체의 유전자형은 부모 각각으로부터 하나씩 받은 두개의 유전자에 의해 결정된다. 여기서 부모란 유전자를 자식에게 전해주는 두 개체를 의미한다. 양쪽 부모로부터 모두 유전자 D를 받은 경우의 유전자형을 DD, 모두 유전자 d를 받은 경우를 dd, 부모 중 어느 한쪽에게서 D를 받고 다른 한쪽에게서 d를 받은 경우를 Dd라 표현하자. 또한 각 개체는 자기가 가지고 있는 두 개의 유전자 중 하나를 자식에게 무작위로 전해준다. 예를 들면, 유전자형 Dd를 가진 개체는 D나 d를 각각 $\displaystyle \frac{{1}}{{2}}$의 확률로 자식에게 전해준다.

하디-바인베르크 법칙(Hardy-Weinberg law)에 의하면 무한한 크기의 집단에서 무작위로 교배가 일어나고, 돌연변이나 이주, 혹은 자연 선택과 같은 일이 없다고 가정했을 때, 유전자형의 비율이 일정 세대가 지나면 변하지 않는다고 한다.

이러한 가정에 맞는 어떤 집단의 초기 유전자형 DD, Dd, dd의 비율을 각각 $\displaystyle p_{{0}} , q_{{0}} , r_{{0}} ( p_{{0}} + q_{{0}} + r_{{0}} = 1 )$라 하자. 이 경우 집단 내의 유전자 D와 d의 비율은 각각 $\displaystyle \alpha = p_{{0}} + \frac{{1}}{{2}} q_{{0}}$, $\displaystyle \beta = r_{{0}} + \frac{{1}}{{2}} q_{{0}}$로 생각할 수 있다. 이 집단에서는 임의의 두 개체가 모여 다음 세대의 개체를 생산한다. 처음의 집단을 0세대라 하고, 0세대로부터 생산된 개체들만의 집단을 1세대라 하자. 1세대는 같은 방법으로 2세대를 생산한다. 이 때, 1세대의 유전자형 DD, Dd, dd의 비율은 $\displaystyle \alpha$와 $\displaystyle \beta$의 비율을 갖는 유전자 D와 d의 풀(pool)에서 임의로 뽑은 두 유전자가 모두 D일 확률, D와 d일 확률, 모두 d일 확률과 각각 같음을 알 수 있다.

어떤 단체의 회원들은 모두 3장의 카드를 가지고 있는데 각각은 A카드이거나 a카드이다. 각 회원은 가지고 있는 카드에 따라 AAA, AAa, Aaa, aaa의 네가지로 구분되며, 이에 따라 회원의 등급이 결정된다. A카드를 두 장 이상 가진 회원은 골드회원이고 그렇지 않은 회원은 실버회원이다. 즉, AAA, AAa는 골드회원이고 Aaa, aaa는 실버회원이다.

이 단체의 규정에 따르면 같은 기의 회원 중에서 무작위로 선택된 세 명이 다음 기의 회원을 추천한다. 초기 회원을 0기 회원이라 하자. 0기 회원은 1기 회원을 추천하며, 1기 회원은 2기 회원을 추천한다. 즉, $\displaystyle n$기의 회원이 되기 위해서는 무작위로 선택된 $\displaystyle ( n - 1 )$기의 회원 세 명으로부터 추천을 받아야 한다. 추천하는 세 명의 회원은 각자 자신의 카드 중 임의로 선택한 카드 하나의 복제본을 추천받는 회원에게 준다. 예를 들면, AAa회원이 추천받는 회원에게 A카드를 줄 확률은 $\displaystyle \frac{{2}}{{3}}$이고 a카드를 줄 확률은 $\displaystyle \frac{{1}}{{3}}$이다. 추천된 회원의 등급은 받은 세 장의 카드로 결정된다. 이 단체의 회원의 수는 충분히 크다고 하자.