자연계열 3번

문제 3

(가) 두 단어 $\displaystyle X$와 $\displaystyle Y$를 다음과 같이 표현했을 때

$\displaystyle X = x_{{1}} x_{{2}} \cdots x_{{m}} , Y = y_{{1}} y_{{2}} \cdots y_{{n}}$

$\displaystyle X < Y$일 필요충분조건을 문자 $\displaystyle x_{{1}} , \cdots , x_{{m}} , y_{{1}} , \cdots , y_{{n}} \in \left\{ a , b , c \right\}$를 사용하여 서술하시오.

(나) 모든 단어에는 그 단어의 뒷 단어가 존재하는가? 그렇다면 그 이유를 설명하고, 그렇지 않다면 어떤 형태의 단어에 뒷 단어가 존재하는지 설명하시오.

(다) 모든 단어에는 그 단어의 앞 단어가 존재하는가? 그렇다면 그 이유를 설명하고, 그렇지 않다면 어떤 형태의 단어에 앞 단어가 존재하는지 설명하시오.

(라) 홍익이는 단어마다 실수값을 부여하여 두 실수값을 비교함으로써 단어들 사이의 사전순서를 이해하고자 한다. 모든 단어의 집합을 $\displaystyle S$라고 하고 실수의 집합을 $\displaystyle \mathbb R$이라고 하자. 각 단어 $\displaystyle X$에 실수값 $\displaystyle f ( X )$를 주어, 임의의 두 단어 $\displaystyle X < Y$를 만족할 때, $\displaystyle f ( X ) < f ( Y )$가 되도록 하는 함수

$\displaystyle f:S\to\mathbb R$

의 예를 제시하시오.