자연계열 3번

일반 승용차의 주행 방향은 운전대의 조작에 따라 바뀌는 앞바퀴의 조향각에 의해 결정된다. 운전대를 시계 방향 또는 반시계 방향으로 회전하면 그 각에 비례하여 앞바퀴의 조향각이 바뀌어 자동차가 회전하며 전진한다. 운전대를 회전하여 그 상태를 유지한 채 자동차를 움직이면, 그 이동 경로는 원의 일부가 되며, 이 원은 중심(회전 중심)의 위치와 반지름(회전 반경) $\displaystyle \rho$로 기술된다. 앞바퀴 조향장치의 설계구조에 따라 회전 반경의 최솟값이 결정된다. 즉, 운전대를 끝까지 돌렸을 때 가장 작은 원을 따라 회전하게 되며 이때의 회전 반경이 최소 회전 반경이다. 최소 회전 반경보다 더 작은 반지름의 원을 따라 회전하는 것은 불가능하다. 자동차의 위치는 두 앞바퀴의 사이의 중앙에 해당하는 점 $\displaystyle M$의 위치로 표시하고, 자동차의 경로도 점 $\displaystyle M$의 경로로 표시하자.

자동차가 회전하며 전진할 때는 자동차의 위치뿐 아니라 자동차의 방향도 변한다. 시작 위치와 시작 방향, 최종 위치와 최종 방향이 주어졌을 때, 자동차가 따라가는 길을 자동차의 운전경로라고 한다. 우리는 길이가 가장 짧은 운전경로를 찾아보려고 한다.

아래 그림과 같이 초기 위치 $\displaystyle A$와 최종 위치 $\displaystyle D$가 주어지고, 각각의 위치에서 주어진 방향이 화살표로 표시되고, 최소 회전 반경이 $\displaystyle \rho$일 때, $\displaystyle A$에서 화살표 방향으로 출발하여 $\displaystyle D$에 화살표 방향으로 도착하는 운전경로는 무수히 많다. 먼저 그림과 같이 점 $\displaystyle A$와 $\displaystyle D$에 접하는 반지름 $\displaystyle \rho$인 원을 그리고, 두 원의 공통 접선을 그리면, 원호 $\displaystyle \widehat{AB}$ ⇨ 직선 $\displaystyle \overline{BC}$ ⇨ 원호 $\displaystyle \widehat{CD}$로 이루어진 곡선이 운전경로이다.

또한 아래 그림의 곡선$\displaystyle A B^{{*}} C^{{*}} D$를 따라 이동하는 것도 가능한 운전경로의 한 예이다. 이때 $\displaystyle B^{{*}}$는 원의 중심과 $\displaystyle B$점을 지나는 직선이 운전경로와 만나는 점이며 $\displaystyle C^{{*}}$점도 마찬가지이다.

위 그림과 같은 경우 운전경로 $\displaystyle ABCD$의 길이와 운전경로 $\displaystyle AB^*C^*D$의 길이를 세 개의 구역 (1), (2), (3)으로 나누어 비교할 수 있다. 사실 일반적인 경우에도 모든 가능한 운전경로 가운데 길이가 가장 짧은 것은 원호 $\displaystyle \widehat{AB}$ ⇨ 직선 $\displaystyle \overline{BC}$ ⇨ 원호 $\displaystyle \widehat{CD}$ 꼴로 이루어진 경로이다. (이때 원호나 직선은 점일 수도 있다.)Caution. 시작 위치와 최종 위치가 가까우면 세 원호로 이루어진 경로가 더 짧을 수 있으므로, 최단경로가 항상 원호·직선·원호 꼴이라는 설명은 일반적으로 성립하지 않는다. 그러나 원칙에 따라 원문 표기를 그대로 실었다.

① 점 $\displaystyle A$에서 $\displaystyle B$까지 가는 경로 가운데 길이가 가장 짧은 것은 $\displaystyle A$와 $\displaystyle B$를 잇는 직선을 따른 것이다.

② 원 내부를 지나지 않으면서 원주상의 점 $\displaystyle C$에서 점 $\displaystyle D$까지 가는 경로들 중 길이가 가장 짧은 것은 원호 $\displaystyle \widehat{CD}$를 따른 것이다.