홍익대 서울캠퍼스 2013학년도 수시 자연계열 2번 해설

0과 양의 실수를 10진법으로 표현하고 유효숫자 3개만 사용하여 덧셈과 곱셈을 하는 방법을 생각해 보려고 한다. 예를 들어, 유효숫자 3개만 사용하여 $\displaystyle 1224$ 와 $\displaystyle 56.78$ 의 덧셈을 해 보자. $\displaystyle 1224$ 는 $\displaystyle 1220$ 으로 $\displaystyle 56.78$ 은 $\displaystyle 56.8$ 로 간주하고, $\displaystyle 1220+56.8=1276.8$ 에서 $\displaystyle 1280$ 을 얻는 셈을 생각하려는 것이다. 다음 글은 이러한 생각을 보다 정교하게 구현한 것이다. 읽고 물음에 답하시오.

$\displaystyle F^*$ 는 순서쌍 $\displaystyle (u,v)$ 의 집합으로서, 여기서 $\displaystyle u$ 와 $\displaystyle v$ 는 정수이고 각각 조건 $\displaystyle 0\le u\le9$ 과 $\displaystyle 100\le v\le999$ 를 만족한다. $\displaystyle F=F^*-\{(9,999)\}$ 라 하자. 실수집합을 $\displaystyle R$ , 0과 양의 실수들의 집합을 $\displaystyle R^+=\{r\in R\mid r\ge0\}$ 이라 하자. 실수집합 $\displaystyle R$ 의 원소가 아닌 것을 도입하여 기호 $\displaystyle \infty$ 로 표기하고, $\displaystyle R^*=R^+\cup\{\infty\}$ 라 하자. 이 때 함수 $\displaystyle g:F^*\to R^*$ 를 다음과 같이 정의하자.

(1) $\displaystyle g(0,100)=0$ ,

(2) $\displaystyle g(9,999)=\infty$ ,

(3) $\displaystyle (u,v)\notin\{(0,100),(9,999)\}$ 이면 $\displaystyle g(u,v)=v\times10^{u-7}$

예를 들어, $\displaystyle g(5,123)=123\times10^{-2}=1.23$ 이다.

(가) $\displaystyle R^{\prime}=g(F)=\{g(u,v)\mid (u,v)\in F\}$ 이라 하자. $\displaystyle R^{\prime}$ 의 원소 중 0이 아니면서 크기가 최소인 것은 0.0000101인데 이를 $\displaystyle \epsilon$ 으로 표기하자. $\displaystyle R^{\prime}$ 의 원소 중 크기가 최대인 것을 $\displaystyle \Omega$ 으로 표기하면, $\displaystyle \Omega$ 의 값은 무엇인가?

이제 함수 $\displaystyle f:R^+\to F^*$ 를 다음과 같이 정의하자.

(4) $\displaystyle r=0$ 이면, $\displaystyle f(0)=(0,100)$ 이다.

(5) $\displaystyle r$ 이 $\displaystyle \epsilon$ 보다 작으면 $\displaystyle f(r)=(0,100)$ 이다.

(6) $\displaystyle r$ 이 $\displaystyle \Omega$ 보다 크면 $\displaystyle f(r)=(9,999)$ 이다.

(7) 위 (4), (5), (6)이 아닌 경우, $\displaystyle \epsilon\le r\le\Omega$ 이다. 이 때, $\displaystyle r\times10^a$ 을 소수점 아래 첫째 자리에서 반올림한 값이 100이상이고 998이하가 되는 정수 $\displaystyle a$ 는 유일하게 존재한다.Caution. $\displaystyle r=997$ 이면 $\displaystyle a=0$ 과 $\displaystyle a=-1$ 이 모두 조건을 만족하므로 $\displaystyle a$ 가 유일하게 정해지지 않는다. 그러나 원칙에 따라 원문 표기를 그대로 실었다.

그 반올림한 값을 $\displaystyle b$ 라 하고, $\displaystyle f(r)$ 은 $\displaystyle (7-a,b)$ 로 정의하자.

예를 들어 $\displaystyle r=5555$ 인 경우를 생각하자. $\displaystyle 5555\times10^{-1}=555.5$ 이고 $\displaystyle 555.5$ 를 소수점 아래 첫째 자리에서 반올림하면 556이다. $\displaystyle 100\le556\le998$ 이므로 $\displaystyle f(5555)$ 는 $\displaystyle (7-(-1),556)=(8,556)$ 이다.

(나) $\displaystyle f(0.0012)$ 는 무엇인가?

이제 집합 $\displaystyle F$ 에 이항연산 $\displaystyle \oplus$ 와 $\displaystyle \otimes$ 을 다음과 같이 정의하자.Caution. $\displaystyle F$ 위의 이항연산이라면 연산 결과도 $\displaystyle F$ 에 속해야 한다. 그러나 $\displaystyle (9,998)\oplus(9,998)=(9,999)\notin F$ 이므로, 주어진 정의는 이 조건을 만족하지 않는다. 그러나 원칙에 따라 원문 표기를 그대로 실었다.

(8) $\displaystyle (u_1,v_1)\oplus(u_2,v_2)$ 는 $\displaystyle f(g(u_1,v_1)+g(u_2,v_2))$ 로 정의하자.

(9) $\displaystyle (u_1,v_1)\otimes(u_2,v_2)$ 는 $\displaystyle f(g(u_1,v_1)\times g(u_2,v_2))$ 로 정의하자.

(다) $\displaystyle (4,123)\oplus(7,456)$ 은 무엇인가?

(라) $\displaystyle f \left( \frac{{1}}{{3}} \right) \otimes f \left( 3 \right)$ 은 무엇인지를 쓰고, 그 값을 얻게 되는 과정을 기술하시오.

(마) 집합 $\displaystyle F$ 의 이항연산 ⊕과 ⊗에 대하여 교환법칙은 모두 성립한다. 그러나 결합법칙은 성립하지 않는다. 예를 들어 아래 조건을 만족하는 $\displaystyle \left( u , v \right)$ 가 존재한다.

$\displaystyle \left( \left( 4 , 300 \right) \oplus \left( 4 , 300 \right) \right) \oplus \left( u , v \right) \ne \left( 4 , 300 \right) \oplus \left( \left( 4 , 300 \right) \oplus \left( u , v \right) \right)$

이러한 $\displaystyle \left( u , v \right)$ 를 $\displaystyle F$ 에서 하나 찾고, 좌변과 우변의 값을 쓰시오.

(바) 무한급수 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\frac1n=1+\frac12+\frac13+\cdots$ 은 무한대로 발산한다. 다음의 점화식에 의해 정해지는 수열 $\displaystyle a_n$ 을 생각하자.

$\displaystyle \begin{cases}a_1=g(f(1)),\\a_n=a_{n-1}+g\left(f\left(\frac1n\right)\right),\quad n\ge2\end{cases}$

수열 $\displaystyle a_n$ 은 수렴함을 설명하시오.

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