자연계열 1번

(1) 창문을 열어두었을 때 $\displaystyle t$시간 후 벤젠 농도($\displaystyle C$)가 기준치 이하(30 ㎍/㎥ 이하)로 내려갔다면 $\displaystyle C=150(0.4)^{t}\le30$ 이다. 로그함수를 이용하여 이 부등식을 풀면$\displaystyle (0.4)^{t}\le0.2$$\displaystyle t\times\log0.4\le\log0.2$$\displaystyle t\times\log\frac{4}{10}\le\log\frac{2}{10}$$\displaystyle t\times(\log4-\log10)\le\log2-\log10$$\displaystyle t\times(2\log2-\log10)\le\log2-\log10$($\displaystyle \log2=0.3$으로 주어졌으므로 $\displaystyle \log4$를 $\displaystyle 2\log2$로 변환하여 계산)$\displaystyle t\times(2\times0.3-1)\le0.3-1$$\displaystyle t\times(-0.4)\le-0.7$ (※ $\displaystyle \log0.4=-0.4$, $\displaystyle \log0.2=-0.7$)$\displaystyle t\ge1.75$ 또는 $\displaystyle \frac{7}{4}$ 이다.즉, 1.75시간 (= $\displaystyle \frac{7}{4}$시간 = 1시간 45분) 후 권고기준을 만족하게 된다.

(2) 문제에서와 같이 24시간마다 일정하게 환기를 반복할 때 벤젠 농도가 30 이상인 시간의 총합을 최소화하려면 처음 24시간 경과했을 때 벤젠 농도가 30 이하이어야 한다. 즉, 처음 창문을 열어 $\displaystyle t$시간 동안 환기시킨 후 창문을 닫고 $\displaystyle 24-t$시간 지났을 때 30 ㎍/㎥ 이하가 되면 된다. 이를 부등식으로 나타내면$\displaystyle 150(0.4)^{t}(1.25)^{24-t}\le30$

이고 이를 로그함수를 이용하여 풀면$\displaystyle (0.4)^{t}(1.25)^{24-t}\le0.2$$\displaystyle t\times\log0.4+(24-t)\times\log1.25\le\log0.2$(※ $\displaystyle \log1.25=\log\frac{25}{100}=\log25-\log100=3\log5-2\log10=3\times0.7-2=0.1$)Correction. $\displaystyle 1.25=\frac{125}{100}$이므로 $\displaystyle \log\frac{25}{100}$과 $\displaystyle \log25$의 $\displaystyle 25$는 모두 $\displaystyle 125$여야 한다. 그러나 원칙에 따라 원문 표기를 그대로 실었다.$\displaystyle t\times(-0.4)+(24-t)\times(0.1)\le-0.7$$\displaystyle t\times(-0.4-0.1)\le-0.7-24\times0.1$$\displaystyle t\times(-0.5)\le-3.1$$\displaystyle t\ge6.2$ 또는 $\displaystyle \frac{31}{5}$ 이다.즉, 매일 적어도 6.2시간 (= $\displaystyle \frac{31}{5}$시간 = 6시간 12분) 동안 환기해야 한다.

(3) 문제에서와 같이 8시간마다 일정하게 환기를 반복할 때 8시간마다 벤젠 농도는 직전 농도에 $\displaystyle 0.4^{2}\times1.25^{6}$을 곱한 값이 된다. 8시간씩 $\displaystyle n$번 지난 후 벤젠 농도가 30 ㎍/㎥ 이하가 되었다면$\displaystyle 150(0.4)^{2n}(1.25)^{6n}\le30$

이다. 이를 (1), (2)에서와 같이 로그함수를 이용하여 풀면 $\displaystyle n\ge3.5$이다. $\displaystyle n$은 정수이므로 $\displaystyle n=4$이다. 즉, $\displaystyle 8\times3=24$시간 후($\displaystyle n=3$) 벤젠 농도는 30보다 크지만 $\displaystyle 8\times4=32$시간 후($\displaystyle n=4$) 벤젠 농도는 30보다 작게 된다.그런데, 24시간과 32시간 사이에 벤젠 농도가 30 이하로 내려가는 때가 있고 그 이후에는 항상 벤젠 농도가 30 이하이다. 이 시점을 $\displaystyle 24+t$라 하면 (단, $\displaystyle 0<t<8$)$\displaystyle 150(0.4)^{6}(1.25)^{18}(0.4)^{t}\le30$

이고, 이를 로그함수를 이용하여 풀면$\displaystyle (0.4)^{6}(1.25)^{18}(0.4)^{t}\le0.2$$\displaystyle 6\times\log0.4+18\times\log1.25+t\times\log0.4\le\log0.2$$\displaystyle 6\times(-0.4)+18\times(0.1)+t\times(-0.4)\le-0.7$$\displaystyle t\times(-0.4)\le-0.1$$\displaystyle t\ge0.25$ 이다.즉, $\displaystyle 24+0.25=24.25$시간 (= $\displaystyle \frac{97}{4}$시간 = 24시간 15분) 후 입주가 가능하다.