자연계열 2번

(1) [그림 3a]에서 밑면에서 평면 $\displaystyle \alpha$까지의 높이를 $\displaystyle h$라 하면 $\displaystyle h=x+a_{1}$이다. [그림 3b]의 안쪽 원의 반지름을 $\displaystyle r$이라 하면 $\displaystyle h=Ar^{2}+a_{1}$이므로, $\displaystyle x=Ar^{2}$ 즉, $\displaystyle r=\sqrt{\frac{x}{A}}$이다. 바깥쪽 원의 반지름은 1이므로 $\displaystyle S(x)=\pi-\pi r^{2}=\pi-\frac{\pi x}{A}$ 이다. 또한 $\displaystyle 0\le r\le1$ 이므로 $\displaystyle 0\le x\le A$ 이다.구하는 물의 부피는 점 P 아래쪽 부분의 부피와 점 P 위쪽 부분의 부피의 합이므로$\displaystyle \pi a_{1}+\int_{0}^{A}S(x)\,dx=\pi a_{1}+\pi A-\frac{\pi A^{2}}{2A}=\pi a_{1}+\frac{\pi A}{2}$ 이다.

(2) 놀이기구가 정지했을 때 물의 부피는 $\displaystyle 2\pi$인데 회전할 때도 물통 안의 물의 부피는 이와 동일하므로 (1)의 결과에서 $\displaystyle \pi a_{1}+\frac{\pi A}{2}=2\pi$ 이다.$\displaystyle a_{1}=2-\frac{\sqrt{3}}{12}$ 로부터 $\displaystyle A=4-2a_{1}=4-2\left(2-\frac{\sqrt{3}}{12}\right)=\frac{\sqrt{3}}{6}$ 이다.

(3) 수면의 높이는 $\displaystyle h=Ar^{2}+a_{1}$ 이므로 $\displaystyle \frac{dh}{dr}=2Ar$ 이고 점 Q에서 (즉, $\displaystyle r=1$일 때) 접선의 기울기는 $\displaystyle 2A=\frac{\sqrt{3}}{3}$ 이다. $\displaystyle \tan\left(\frac{\pi}{6}\right)=\frac{\sqrt{3}}{3}$ 이므로 $\displaystyle \theta_{1}=\frac{\pi}{6}$ = 30° 이다.

(4) 물이 넘친 부분의 부피는 회전으로 인해 움푹 파이게 되는 부분의 부피와 같다. 이 부분의 부피를 (1)에서와 같이 구한다. 움푹 파인 부분의 바닥에서부터 높이가 $\displaystyle x$인 지면과 평행한 평면으로 자른 단면은 [그림 3b]의 안쪽원과 같이 반지름 $\displaystyle \sqrt{\frac{x}{A}}$ 인 원이다. 단면적은 $\displaystyle \frac{\pi x}{A}$이고 $\displaystyle 0\le x\le A$이므로 구하는 부피는 $\displaystyle \int_{0}^{A}\frac{\pi x}{A}dx=\frac{\pi A}{2}=\frac{\pi\sqrt{3}}{12}$ 이다.

(5) 물컵 안의 수면의 높이는 $\displaystyle h=Ar^{2}+a_{2}$ 이므로 (3)에서와 같이 놀이기구 중심축과 거리 $\displaystyle r$인 점에서 기울기는 $\displaystyle 2Ar=\frac{r}{\sqrt{3}}$ 이다. 물컵의 중심에서 수면이 지표면과 이루는 각이 60° 이하라면 $\displaystyle \frac{r}{\sqrt{3}}\le\tan60°=\sqrt{3}$ 이므로 구하는 최댓값은 $\displaystyle r=3$ (m) 이다.